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布丰的投针试验
作者:佚名    文章来源:《概率的故事》    点击数:    更新时间:8/28/2007

布丰的投针试验

  

公元 1777 年的一天,法国科学家 D?布丰(D?buffon17071788)的家里宾客满堂,原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。

试验开始,但见年已古稀的布先生兴致勃勃地拿出一张纸来,纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针,这些小针的长度都是平行线间距离的一半。然后布丰先生宣布:“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧!不过,请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。”

客人们不知布先生要干什么,只好客随主意,一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了,把它捡起来又扔。而布先生本人则不停地在一旁数着、记着,如此这般地忙碌了将近一个钟头。最后,布先生高声宣布:“先生们,我这里记录了诸位刚才的投针结果,共投针 2212 次,其中与平行线相交的有 704 次。总数 2212 与相交数 704 的比值为 3.142。”说到这里,布先生故意停了停,并对大家报以神秘的一笑,接着有意提高声调说:“先生们,这就是圆周率π的近似值!”

众宾哗然,一时议论纷纷,个个感到莫名其妙;“圆周率π?这可是与圆半点也不沾边的呀!”

先生似乎猜透了大家的心思,得意洋洋地解释道:“诸位,这里用的是概率的原理,如果大家有耐心的话,再增加投针的次数,还能得到π的更精确的近似值。不过,要想弄清其间的道理,只好请大家去看敝人的新作了。”随着布先生扬了扬自己手上的一本《或然算术试验》的书。

π在这种纷纭杂乱的场合出现,实在是出乎人们的意料,然而它却是千真万确的事实。由于投针试验的问题,是布先生最先提出的,所以数学史上就称它为布丰问题。布丰得出的一般结果是:如果纸上两平行线间相距为d,小针长为 l,投针的次数为 n,所投的针当中与平行线相交的次数是 m,那么当 n 相当大时有:

在上面故事中,针长 l 等于平行线距离 d 的一半,所以代入上面公式简化得:

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