运算是数学学习的一个基本内容。运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索。从小学开始，学生所接触的运算对象就在不断地扩展，从整数到分数，从正数到负数，从有理数到实数、复数，从数到字母、到多项式等。数运算，字母、多项式运算，向量运算，函数、映射、变换运算，矩阵运算等是数学中的基本运算。

从数运算到字母运算，是运算的一次跳跃。数运算可以用来刻画具体问题中的数量关系，解决一个一个的具体问题。而字母运算则可以刻画一类问题中的蕴涵的规律，解决一类问题。例如，a+(b+c)=(a+b)=c,就刻画了数运算的一个基本规律——结合律。同时，字母运算也是表达函数关系、刻画普遍规律的工具。从数运算进入字母运算，是学生数学学习中的一次质变，学生对运算的理解也会产生一个跳跃。

从数运算，到向量运算，是运算的又一次跳跃。在代数中，对于三个集合A、B、C，称映射A×B→C为A×B到C的代数运算，特别地，称映射A×A→A为A中的二元代数运算。数运算、多项式运算都是A×A→A型的代数运算，数与多项式的运算属于A×B→B型的代数运算。向量的加法、减法运算的特征是两个向量通过加法、减法运算得到第三个向量，即属于A×A→A型的代数运算；向量的数乘运算的特征是一个数与一个向量通过数乘运算得到一个向量，即属于A×B→B型的代数运算；向量的数量积运算的特征是两个向量通过数量积运算得到一个数，即属于A×A→B型的代数运算。向量运算不同于数的运算，它涵盖了三种类型的代数运算。与数运算相比，向量运算扩充了运算的对象和运算的性质。向量的数量积运算可以刻画向量的长度，从而使得我们可以通过代数运算刻画长度、面积、体积等几何度量问题。向量运算更加清晰地展现了三种类型的代数运算的特征以及代数运算的功能，同时，向量运算具有与数运算不同的一些运算律，这对于学生进一步理解其它数学运算、发展学生的运算能力具有基础作用。因此，从数运算到向量运算，是学生数学学习中的又一次质变，学生对运算的理解也会更上一层楼。

在以后的学习中，运算对象还要进一步拓展。向量的学习，为学生今后进一步学习其它数学运算，体会数学运算的意义以及运算在建构数学系统中的作用，奠定了基础。