（5）在高中数学课程中，通过函数的学习逐步形成了映射的思想和映射的定义，函数是两个实数集合之间的一种对应关系，而映射是两个集合之间的一种对应关系。映射能够帮助我们更好的理解两类物体之间的“桥梁关系”。映射的思想和函数的思想在本质上是一样的，只是它们连接的两类对象不同。在运用函数（映射）的思想解决问题的过程中，会不断加深对于函数桥梁作用的理解。

−4   0     4      x

−6

y

A

6

14

B

C

（6）函数的思想在其他部分数学内容的学习中发挥着重要作用。

当我们用函数的观点来看待方程的时候，由函数y=f(x)所决定的方程是y=f(x)=0，求方程的解就变成了思考函数图形与x轴的相交关系，变成了考虑函数的局部性质。能否运用函数整体的性质去讨论方程的求解问题呢？在高中课程中我们介绍了二分法求解方程。这种二分法解方程体现了这样一种思想：用函数的整体性质讨论函数的局部性质。具体来说，在[a,b]上，给定一个连续函数，若f(a)与f(b)的符号不相同，那么函数图像会从（a, f(a)）点出发穿过x轴到达（b, f(b)）点。这样的性质就能帮助我们运用二分法近似的求出方程的解。

例如，判断方程x²−x−6=0的根的存在性。

我们可以考察函数f(x)＝x²−x−6，其图象为抛物线，如图。

容易看出，f(0) = −6＜0，f (4) = 6＞0，f(−4) =14＞0，

由于函数f(x)的图象是连续曲线，因此点B(0, −6)与点C(4, 6)之间的那部分曲线必然穿过x轴，即在区间(0, 4)内必有一点x₁，使f(x₁)＝0；同样，在区间(−4, 0)内也必有一点x₂，使f(x₂)＝0。所以，方程x²−x−6=0有两个实根。我们可以用学过的解方程的方法来验证这个结论。

用函数的观点来讨论不等式的问题会有很大的“好处” 。不等式是高中必修课程中一个重要的内容，例如，一元二次不等式，简单的线性规划问题，用函数的观点看待这些问题，有助于更好的理解这些知识本身。

在高中课程中，函数与数列、函数与导数及其应用、函数与算法、函数与概率中的随机变量、函数与选修3、4中的大部分专题内容都有着密切的联系。用函数（映射）的思想去理解这些内容，是非常重要的一个出发点。反过来，通过这些内容的学习，更加深了对于函数思想的认识。

（7）在大学的数学中，函数（映射）的思想依然发挥着重要的作用。例如，数学系的课程中，数学分析、实变函数、复变函数、常微分方程、偏微分方程、泛函分析等等。这些学科都是从不同角度研究函数所构成的课程。值得一提的是，在对其他课程的学习中，函数（映射）思想仍然起到了重要的作用，例如，群结构中的同态、同构；度量结构中的保距；拓扑结构中的连续、同胚；序结构中的保序、同构；等等。这些都是极其重要的映射。

综上所述，函数思想是高中数学课程的一条主线，从一个角度链接起了高中数学课程的许多内容。有了这条主线就可以把数学的知识编织在一起，这样可以使我们对知识的掌握更牢固一些。

我们学习数学是“线性序”，但数学本身不是“线性的”。我们可以从一个知识出发，推出后面的知识，同样我们也可以从另一个知识出发，按照一定的顺序推出来。如果我们对这个网有了深刻的认识，可以从不同的角度从局部到整体，再从整体到局部，把所学的知识有机地联系起来。

上一页  [1] [2] [3] [4] 下一页