先谈一谈概率

概率的内容在中学已经出现好几年了。从目前看，主要的问题是，教学的重点被放在了用排列组合计算古典概率上，放在了概率、均值、方差等的数值计算上，而忽略了对概率等概念本身的理解。另外，现在高考中的应用题大都变成了概率题，实际上，这些题目只是计算一些有应用背景的概率值，并不能很好地体现数学的应用。这种教学使得学生学完概率这部分内容后，并不能很好地认识周围发生的随机现象，如天气预报，彩票中奖等。而中学引入概率的内容，是希望学生能对随机现象有一个初步的认识，使他们在今后的学习和工作中，对随机现象中出现的一些问题，能有一个正确的分析。

下面谈几个问题。

1.概率的定义  

例1（掷硬币问题） 把一个均匀硬币掷100次，出现50次正面的概率有多大？

     解：具体的计算学生和老师都会，这里就不说了。答案是，出现50次正面的概率为

[在教学中，有些老师（包括某些教科书）在给出答案时，只给出上式的左边，不算出其数值，以为数值是近似的，不如左边的公式解严格。但是，我们在学习概率时，如果不能了解我们讨论的事件发生的大小，是很难真正理解随机现象的。许多时候，近似的数值解比抽象的公式解更说明问题。]

     我们知道，掷一个均匀硬币，“出现正面”的概率是0.5。有人以为，掷100次应该出现50次正面。为什么这件事发生的概率只有0.08，和想象相差甚远。好像均匀硬币不应该有这样的结果。你学过了概率的统计定义，该如何解释这一结果呢？

     事实上，一个事件的概率0.5是指，在大量重复试验中，该事件出现的频率‘稳定’在0.5（即在0.5附近，偏离0.5很大的可能性极小），并非每两次试验中出现一次。那么，掷100次均匀硬币出现50次正面的概率，也应该理解为，做大量重复试验，即多次地掷100次硬币，‘出现50次正面’的频率应‘稳定’在0.08。

     下面是一个模拟试验结果（选自W.费勒的‘概率论及其应用’）。做了100次试验（在这里，我们把“掷100个均匀硬币”看成是一次试验），每次出现正面个数如下：

54  46  53  55  46  54  41  48  51  53 

48  46  40  53  49  49  48  54  53  45

43  52  58  51  51  50  52  50  53  49 

         58  60  54  55  50  48  47  57  52  55

         48  51  51  49  44  52  50  46  53  41

         49  50  45  52  52  48  47  47  47  51

43  47  41  51  49  59  50  55  53  50 

         53  52  46  52  44  51  48  51  46  54

         43  47  46  52  47  48  59  57  45  48 

         47  41  51  48  59  51  52  55  39  41

我们看到，掷100个均匀硬币不一定出现50个正面。可以出现54个正面，也可以出现46个正面，等等。在上述100次试验中，出现50个正面的有7次。即掷100次均匀硬币出现50次正面的频率是0.07，和理论上的值0.08相差不大。

     应该看到，对一个均匀硬币来说，掷100次“出现50次正面”的概率0.08虽然不大，但比正面出现其它次数，例如出现49次、53次等的概率还是大的。

在上述的模拟试验中，一共掷了10000次硬币，其中正面出现了4979（只需把上表中的100个数据求和）次。即正面出现的频率为0.4979，近似于0.5。说明我们的硬币是均匀的。

再看一个例子。有人认为中奖率千分之一的彩票，买一千张就应该中奖。并问到：如果买一千张不中奖，那怎么解释‘中奖率是0.001’呢？有的人即使学过了概率，对此也还是不清楚如何回答。为此我们来看下面的问题。