先谈一谈概率   

        概率的内容在中学已经出现好几年了。从目前看，主要的问题是，教学的重点被放在了用排列组合计算古典概率上，放在了概率、均值、方差等的数值计算上，而忽略了对概率等概念本身的理解。另外，现在高考中的应用题大都变成了概率题，实际上，这些题目只是计算一些有应用背景的概率值，并不能很好地体现数学的应用。这种教学使得学生学完概率这部分内容后，并不能很好地认识周围发生的随机现象，如天气预报，彩票中奖等。而中学引入概率的内容，是希望学生能对随机现象有一个初步的认识，使他们在今后的学习和工作中，对随机现象中出现的一些问题，能有一个正确的分析。

    下面谈几个问题。

1． 概率的定义  

    概率的概念笼统说并不难，但若深入到理论或哲学中去讨论，问题就有一大堆。大多数数学家、概率论专家并不关心这种讨论，通常把这种问题留给哲学家去处理。

    在数学上，概率的概念是用公理化的形式定义的。即使是大学数学系的学生，由于他们大都不学‘测度论’，也无法完整地理解这种公理体系的意义。这里希望教师了解的是，在各种教科书中出现的“概率统计定义”,“古典概率定义”,“几何概率定义”都是一些描述性的说法，教师不应该过分地去揣摩，探究那里的用语，而应理解其实质。

    例如，概率的统计定义通常可以这样叙述：:在相同的条件下做大量的重复试验，一个事件出现的次数k和总的试验次数n之比，称为这个事件在这n次试验中出现的频率。当试验次数n很大时，频率将“稳定”在一个常数p附近。n越大，频率偏离这个常数p大的可能性越小。这个常数p称为该事件的概率。      

    有些人去探讨“试验”等词的定义。把“做一次试验”定义为“条件实现一次”。事实上，“做一次试验”并不难理解。如掷一个硬币，摸三个红球，取十个产品等等。个别复杂的试验也不难向学生解释。把“做一次试验”定义为“条件实现一次”，反而更难让人理解。什么叫“条件”？什么叫“实现”？这显然是不恰当的。何况“试验”根本不是数学中的名词。

    我们要清楚上述定义只是描述性的。而且它有循环定义之嫌。因为定义中出现了“可能性”。这指的就是概率.(类似地在古典概率定义中通常出现“等可能性”)。你可以设法避免这类词出现，但其本质的意义无法避免。事实上，概率的统计定义的数学描述是（弱）贝努里大数律（老师们在大学都学过）：

它说的是：当试验次数n→∞时，一个事件发生的频率与某个常数p的偏差大于任一个正常数ε的可能性趋于零。之所以不能用这个式子中的常数p作为

‘概率’的定义，是因为在这个式子中已经有了‘概率’P。

     那么，我们在中学的教学中，应该如何把握概率的概念呢？‘理解其实质’是指什么呢？

     我想主要应该理解以下几点：

[1] [2] 下一页