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| 作者：张饴慈 文章来源：本站原创 点击数： 更新时间：5/18/2006 |
高中课程中概率和统计内容的定位(一)
张饴慈
概率和统计已经成为高中课程中的重要组成部分。在新的课程标准中又有所增强，特别是以案例的形式增加了统计的内容。又开设了“风险与决策”的选修专题。但是，这一部分内容教师掌握的往往不够到位。本文想结合新课程标准的必修部分，谈谈高中课程中概率和统计内容的定位。
一．. 概率
过去中学的概率课，把重点放在用排列组合计算古典概率上，而忽略了对概率本身的理解。学生学完后，并不能很好地认识周围发生的随机现象，如天气预报，彩票中奖等。在现在的标准中，更强调对随机现象的认识。下面谈几个问题。
1． 概率的定义
首先应该明确在数学上概率是用公理化的形式定义的。各种教科书中出现的‘概率统计定义’,‘古典概率定义’,‘几何概率定义’都是一些描述性的说法，教师不应该过分地去揣摩，探究那里的用语，而应理解其实质。概率的概念笼统说并不难，但若深入到理论或哲学中去讨论，问题就有一大堆，不是中学(甚至也不是大学)数学课程需要讨论的。
在这里扯得远一些，谈谈对数学上‘定义’的一些看法。我不想谈数学中给出定义的必要性，它的作用和意义。每一个数学老师对此都清楚。我想谈的是相反的一面，也是我认为有些问题的地方，即过分地追求定义，过分地探究书中的词语，而忽略了对整体精神的把握。
对任何一个概念的定义，都需要用到一些词语。而严格说，这些词语仍需要定义。定义这些词语又需要用到另外一些词语。因此，这是一个无限上推、无法完成的任务，除非在某一处停下来。换句话说，必须有一些不加定义的词语，以此为出发点来讨论问题。提出这一点是希望人们不要迷信定义。有人以为凡是没定义的都是不严格的，只有给出了定义才严格。这种看法是不全面的。其次，有些定义即使有，对许多人来说也是不必要的。大多数科学家并不需要了解实数的理论(实数的严格定义)，大多数数学家也不需要掌握用皮亚诺公理给出的自然数定义。严格表述尽管重要，但数学中最重要的活力来自于它的问题，思想，来自人们的探索，猜想，分析。
概率的统计定义通常可以这样叙述：:在相同的条件下做大量的重复试验，一个事件出现的次数k和总的试验次数n之比，称为这个事件在这n次试验中出现的频率。当试验次数n很大时，频率将‘稳定’在一个常数附近。n越大，频率偏离这个常数大的可能性越小。这个常数称为该事件的概率。
我们要清楚上述定义只是描述性的。事实上它有循环定义之嫌。因为定义中出现了‘可能性’。这指的就是概率.(类似地在古典概率定义中通常出现‘等可能性’)。你可以设法避免这类词出现，但其本质的意义无法避免。有些人去探讨‘试验’等词的定义。事实上，‘做一次试验’并不难理解。如扔一个硬币，摸三个红球，取十个产品等等。个别复杂的试验也不难向学生解释。把‘做一次试验’定义为‘条件实现一次’，反而更难让人理解。什么叫‘条件’？什么叫‘实现’？这显然是不恰当的。何况‘试验’根本不是数学中的名词。
对这个定义应该从整体上把握，重要的是掌握以下几点：
(1) 我们所讨论的现象是可以做‘重复试验’的.。并非所有不确定现象都是概率论研究的对象。例如，本 拉登是否还活着，某某人今天脸色不好是否不高兴，等等。这类问题没有重复试验的意义，属于人们的主观猜测与愿望,。尽管人们有时也说：‘十有八九他不高兴’,‘我认为拉登活着的可能性只有百分之十’。这被称为主观概率。对主观概率的研究并非没有意义，但并非我们概率论研究的对象。概率论描述的是可以重复试验的模型。另外，结果的随机性不同于结果未知。比如，至今人们还不知道哥德巴赫猜想是否成立，但这没有任何随机性。‘重复试验’是指条件相同下的试验，严格说在现实中两次试验条件完全相同是不可能的，这里给出的是数学模型，至于现实中哪些问题能用这个数学模型来近似描述，这是另一个问题。
（2）频率和概率的关系。频率是随机的，是这n次试验中的频率。换另外n次试验一般说频率将不同，而概率是一个客观存在的常数。
(3)概率反映的是‘多次试验’中频率的稳定性，学生往往错误地把‘概率等于二分之一’理解为‘两次试验中出现一次’。应给予纠正。
(4)出现频率偏离概率较大的情形是可能的，这是随机现象的特性。在概率的教学中，对一些学生容易产生误解的地方，有人建议用试验的办法帮助学生理解，这当然是很好的。例如，在讨论抽签与抽取顺序无关时，就可以用试验模拟。但必须注意到频率偏离概率大的情形。例如,扔一百个均匀硬币，一面出现41个，另一面出现59个，是不奇怪的。对此教师应有充分的认识。
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