任何改革的目的都是为了革故鼎新、促进发展。数学课程改革也不外乎于此。自从教育部颁布了《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》与《高中新课程标准》之后，呼应着标准的各类实验教材纷至沓来或即将“显露娇容”，中国的数学教育扑面迎来了可喜的改革春风。但是，当数学课程改革阔步向前的时候，我认为，此时此刻，以一种冷静的态度，反思得失、改进弊端、跟踪完善就显得尤为必要。特别是，就学术界对标准、对教材等所发出的相当多的批评声音而言，也应做理性分析，辨析其中所存在的诸多合理观点，并敢于吸纳、反思、融合、交流，只有这样，才能促进我国的数学教育事业健康、合理地向前发展。就目前而言，大批新版实验教材在经历了第一轮试用之后，即将进入修改与完善阶段；而高中新教材也正处在紧锣密鼓的编写过程之中。本文无意对新课程、新教材的编写提出什么方向性的指示，只是想从一个数学教育理论研究者的视角对教材编写提出一些理论层面的剖析与建议，希望能为这事关中国数学教育大局的艰巨事业献计献策，贡献自己的微薄力量。或许其中的论题也涉及到了不同声音之间的交锋点，但从另一个意义上说，对这些大家尚具争议的问题，深入探究总比一味回避或许更具深刻的发展内涵。
1、 教材结构的二位一体
数学教材的结构化问题不容忽视。首先，就数学学科本身的特点而言，演绎性的结构体系本身就彰显了数学所独具的魅力。从大的方面看，整个数学的结构本身就表现为相互联系、纵横交错的几个分支核心领域；从小的方面看，结构则表现为每个分支领域中的基本概念、基本原理及其相互联系。放眼数学发展的历史，赫赫有名的《几何原本》与《数学原本》早已成为数学结构化、脉络化的典范型著作。这更是清晰有力地佐证了数学学科系统演绎的特色取向。所以说，如果新课程教材本身的结构体系不清晰甚或根本就不具备结构，那么这在一定意义上将降低教材的数学品位，限制学生对数学的理解及至在数学上的发展。其次，有关学习心理学的研究已经得出下面的观点1，专家较之于新手的过人之处在于，专家的知识不仅仅是相关领域的事实和公式的罗列，相反它是围绕着核心概念或“大观点“（big ideas）组织的，这些概念和观点引导他们去思考自己的领域。从这个意义上说，让学生掌握这个学科的各个层次上的各种结构，是促进其有效学习的重要条件，并且学生大脑内部数学知识结构的质量决定了其今后思维的深度与广度。心理学家齐（Chi,1981）通过研究也曾指出2，“知道得越多”意味着在记忆中拥有的概念模块就越多，界定模块的关系或特征也越多，模块间的联系以及有效提取相关模块的方法和在问题——解决情景中应用这些信息单位的步骤也越多。这些研究也不断启示我们，要尽可能以数学教材中的脉络结构为中介，支撑着学生大脑内部的数学结构的生成与发展。
现今很多版本的实验教科书的一个较大问题可能还是在于教材中数学知识的脉络结构不甚清晰，这或许是下一步教科书修订与改进工作的重点方面。但笔者认为，进一步地，我们必须关注两种类型的数学知识结构：专家所认定与接受的结构以及学生所能建构的结构。关注两者之间的差异直接关系到教材是否真正以学生的经验、认知、理解与发展为本，是否真正指向学生深层的数学发展。例如，传统教材在高中一年级段，总是在学习完了函数一章后就转向立体几何的学习，并将数列内容安排在高中二年级阶段中；而在笔者所翻阅到的一个新版本教材中（在此不便具体提及），教材编写者为了能体现内容的延续性与结构化，把立体几何内容安排在高中二年级阶段，试图与平面解析几何构成一个较为完整的几何版块，同时将数列内容前移至高中一年级的函数内容之后，也试图通过函数的学习支撑对数列内容的理解（数列可以在另一种意义上理解为函数），这些都是专家、教材编写者甚至教师所认定与接受的结构。可据使用了该新教材的一线教师反映，就数列内容的学习而言，学生并没有因内容前移而在理解上增强，甚至学习的效果还不如使用传统教材。他们普遍认为，很多学生在学习完了函数内容之后，突然引入 ，会出现很多事先想不到的思维及理解上的困难，并非我们所想象的是一种知识间的自然促进与延伸。这个来自一线的例子也充分说明了，专业人员所认同的数学结构并非与学生所能理解、所能习得的结构完全一致，两者甚至存有相当大的偏差。笔者认为，新教材编写应当在理清教材本身的逻辑结构（专家、编写者以及教师认同的结构）的同时，要对学生所能理解的结构进行深入研究，力图使学生能清晰而正确地内化与理解数学本身的特有结构，从而使学生经验到的结构与专家认同的客观结构达到二位一体的统一。
2、学生经验的有效提升
弗莱登塔尔曾说过：“数学是系统化了的常识。”如果从教育意义进一步思考这句话，我们又可说：“学生习得的数学是系统化了的学生常识（或经验）。”特别是就义务教育阶段的数学教材的编写来说，通过各种情境引入活动、任务，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，从而导出概念、定理与法则，其作用就在于提升学生的经验，使之连续地向形式的、抽象的数学知识的转变。应该说，新课程、新教材在这一方面所给予的充分关注，体现了理念与实践上的极大进步，而且，来自一线的教学实践也充分证明了，构筑在学生已有生活经验与生命体验基础之上的数学课程大大激发了学生“做数学”的热情，数学课变得更生动、更活泼，更能引发学生的兴趣了。
另一方面，数学的确是扎根并溯源于现实世界的，但是，不断抽象、不断形式化的数学并非静止地、固化地停留于经验层面上，而是以层级跃迁的方式不断迈向“形式上的抽象与思维中的具体”，换句话说，越发形式化的数学实际上表现出越来越深刻的、越来越强有力的对真实世界的解释力与索引力。再进一步看，人之所以要不断学习，那是因为通过学习可以持续地改造经验、掌握规律、提升效率。相应地，数学学习的目的与价值主要就在于提升学生的经验，能利用数学工具更好地改造自然、处理问题、看待世界。当然，学生的经验也是一个动态发展的产物，或许原初所认为的形式化的数学知识通过持续学习而成为学生另一层面上的经验了。因此，就教材编写来说，关注学生的经验自然没有错，但是矫枉过正似也不足取，也即，构筑在学生活动与经验基础上的数学内容，在达到了形式化程度之后，仍然应当在形式化的、抽象的层面上继续深入，一些数学所特有的技巧（因式分解、添加辅助线等）与数学方法、思想（数形结合、化归等）也是应当让学生掌握、领会的，因为这些都是真正体现数学韵味、显露数学精髓的地方，尽管是抽象的，但这种抽象却是可以连续地追溯到学生的经验源头的，并且是以一种脉络结构的方式与其他知识紧密耦合的，因此学生是能够深刻理解与感悟的。所以说，教材编写中经常耳闻的数学内容的形式化取向与经验化取向，看似是两种矛盾的观点与立场，但深入研究可以发现，将两者自然地融合应当是合理、恰切的做法。
3、知识境脉的全面理解
诸多新版教材在为新知识的学习提供活动情境方面下了很大工夫，从对传统教材编写以及教学中的“掐头、去尾、烧中段”等缺陷的改进而言，新教材在这方面应当说向前迈进了一大步。但如果再进一步深入分析，就可以发现，绝大多数的数学新知识都只是镶嵌在一些学生熟悉的生活情境、经验背景之中，而且，往往通过生活情境与经验背景引入了新的数学知识之后，就要么不再向数学形式上的纵深迈进（将原来很多数学内部的知识、技巧与方法冲淡），要么回归原来的封闭训练、强化练习，这其中体现了很多对数学知识本质的片面认识与理解。可以从以下几个方面来分析。首先，情境一词来源于英语中的“context”，但目前在国内比较公认的翻译应为“境脉”，亦即情境脉络。它既包含知识的产生与应用所依托的外部环境（如前面提到的生活情境、经验背景），但也包含知识本身的起源、发展所置身于（Situated）的纵向的、横向的内在逻辑与相互联系。从这个意义上说，诸多教材的编写只是部分地强调了知识的情境（外部的生活的、社会的联系）这一个方面，而忽略了数学知识从溯源到发展过程中的复杂交织的脉络联系。比如，对于数的学习与理解，新版教材还是过于关注从生活情境引入，让学生逐步学会与理解自然数、负数、分数、有理数等，但笔者认为，除此之外，数的知识还包括数学内部数系的扩张线索（从自然数到有理数、到实数、到复数的发展主脉络）是什么，以及数系扩展真正的内部动因是什么，其又与其他哪些数学知识的发展紧密相连等等，这些都是数学知识产生发展的脉络，也是赋予数学知识以生长活性的境脉性知识，并且其对学生真正理解数、认识数，从而感悟数学的文化，具有重要的意义。其次，知识境脉是动态发展、不断丰富完善的，而非固化的背景结构，这种动态发展与不断丰富有助于学习者以一种螺旋式的、周期性的方式形成对相关知识的更加深刻的认识、理解与感悟。比如，对于一次函数、二次函数等函数内容的理解，学生开始还是通过生活情境引入概念，初步地、简单地理解“随自变量的改变，函数值也发生改变”这一本质，随着坐标系的引入（一个新的知识境脉），函数知识又可与直线方程、抛物线方程的知识联系起来，一个函数方程的解又对应于曲线上的点坐标，两个函数方程的公共解又对应于两条曲线的交点坐标，此时学生对函数知识的理解也因为境脉的丰富而逐渐加深，再随着圆锥曲线、圆、复平面、极坐标等等大量相关内容的引入与学习之后，几乎处处都需要用到函数知识，在这样一种连续运用、反复联系的过程中，函数所置身于（situated）的境脉愈加丰富与精细，从而学生对函数的理解也愈加深刻与完善。总之，从内在的脉络结构来说，数学是一个相互联系、紧密交织的整体，其内在的脉络与联系应当在教材中尽可能体现出来，教材应当成为学生反思与提升经验的中介，以帮助他们在感受与理解一种结构化的相互联系的数学的同时，促进其经验的不断飞跃。第三，教材中构建丰富数学境脉的目的与功用是促进学生的“数学化”过程，亦即数学教育的重点不是在一个封闭系统中学习数学，而是让他们在一种积极的活动，一种数学化的过程中学习数学，这个“数学化”的过程必须是学习者自己主动完成的，而不是任何外界强加的3。新教材力图在这个方面有所突破与改进，但笔者认为，如何更加完整全面理解“数学化”，对下一步教材的改进颇有裨益。在此，限于篇幅，笔者给出著名数学教育家特莱弗斯（Treffers）与弗莱登塔尔对数学化的一番解释，供大家细究与品味，“数学化思想应分解为两大类，即横向的数学化与纵向的数学化，横向数学化指的是学生面对的数学工具能够帮助他们组织和解决真实生活中的某个问题；纵向数学化是对数学系统本身进行重组的过程”4，“横向数学化包括从真实生活走进符号世界，而纵向数学化是指在符号世界中进行移动”5。其实透过这一解释，我们应该能够理解数学化与数学境脉之间的某种内在的深刻联系，而在教材编写中准确、深刻地对其把握就显得尤为重要了。
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