2．  不少几何图形的性质在现在的教材里都是用折纸或者其他借助生活经验和动手的方式导入和解释了，减弱了证明的份量，使数学新课程的数学味道降低了很多，数学的难度、深度也随之下降，这会不会造成学生整体的数学水准，特别是基础知识与基本技能的下降？

孙晓天：你说得是几何，其实问的是新课程会不会影响“双基”这么一个敏感问题。“双基”的概念太模糊，很少有人能把它说清楚。我想我们还是说“数学的基本功”吧。说得简单一点，数学的基本功包括一个字－“算”！当然这个“算”不仅仅是指数值计算，还包括式的推导和演绎推理。在“算”的方面功夫扎实的学生通常在各方面都不错，这也能从另一个角度说明“算”的确是数学学习的基本功。通过“算”产生过不少有名的数学家，哪怕是中小学生通过“算”也可以做出一些不错的结果来。不会“算”，在科学上不会有什么成就，在如何“算”、如何教学生“算”的问题上，我国的数学教育积累了不少经验，广大教师在实际教学工作中也摸索出不少方法，这些都应肯定，都没有疑义。问题是前面所说的“算”不是数学基本功的全部。学数学还需要有眼光，有想法，要有从现实问题中发现数学问题的能力，有找到解决问题方法的思路，不然，我们“算”什么呢？都是“算”现成的问题，发现的能力就无论如何也没办法形成了。而现实问题中的数学信息很多时候是以图形、图表、数据的形式存在的，所以，把握图形，收集数据、整理信息，就成了“算”所必须的前期准备。把上面这些和“算”结合在一起，数学的基本功就比较完整了。我们过去抓“算”没有错，但留给学生思考的空间小，比较忽视提问题、想点子，也不大关注数学和现实生活之间的联系，这就是缺陷了。新课程就在试图弥补这一缺陷。

现在再说几何，数学新课程对几何是这样处理的：首先是直观和经验，接着是抽象，最后是演绎。例如，用折纸的办法归纳出几何图形的一些特征性质，这带有发现的意义；再用演绎推理的方法证明这些性质，练的就是“算”的基本功了。在这里直观和推理两者都很重要，而且两者之间互为支撑，有互逆的性质。说比较容易，如何在教材层面衔接的自然，使教者和学者都认识到这两种形式之间的联系与区别及其一致性，就不那么容易了。把某种直线形或圆的同一个性质，在经验、直观和证明的过程中反复出现这件事呈现的自然，分出层次，使学生理解既要折纸又要论证，是在通过两种功夫实现同一个目的，的确是我们在教材编写和教学实践中面临的一个难题。在教学过程中常看到：折纸就像是在做手工，证明就像依样画葫芦，两者都不解渴，都形不成基本功，因此产生数学基础弱化了的想法也就不足为怪。现在不同版本实验教材在这方面都做出一些尝试，尚在实验之中，“硬骨头”还没有啃下来。

问题归问题，真正需要考量的是新课程对几何课程的设计有没有问题，因为这关系到我们推进新课程的信心。说到这儿，明确一下我的观点：新一轮数学课程改革对几何的重视程度是在加强，丝毫没有减弱。在国家的数学课程标准里，采取直观几何和推理几何并重的方针，其中直观部分的触角已经伸向了小学低年级，同时欧氏几何的体系和内容差不多还是完整呈现。如果说有所弱化，就是具体要求降低了，这种降低主要体现在两个方面，一个是对推理几何的难度要求有所限制；另外是大大的弱化了圆（包括圆与直线之间的关系）这块内容，希望把相关内容挪到高中去。这个思路，兼顾了数学基本功应当包括的各个方面，我认为是对头的。从你提到的问题看，至少目前这个思路的落实情况不够理想。这其中牵涉到教材应该怎么编、素材应该怎么选、教师应该怎么教等等一系列问题，又是一篇大文章，以后有机会可以再细谈。

3．在公众的眼里一般都认为数学很难、很抽象，那么大众数学的提法现实么？在我们国家能行得通么？

孙晓天：你的问题是越来越尖锐了。大众数学首先是一个国际化的提法，不是我们中国人发明的。1984年的国际数学教育大会（ICME5）的主题就是,意思是“为了每一个人的数学”，这大概是我国大众数学的源头。在我们的脑海里，数学似乎需要一点天赋，的确不是每一个人都能学好的，为什么还要提for all呢？这就要提到些背景了。那时在西方尤其是在美国，如果数学学的不好或数学学分修的少，上大学的可能性和选择专业及学校的空间就会大大缩小，从而今后谋职的竞争力就连带大受影响，数学在某种程度上成了职业的筛子。特别是有人把美国的少数族裔升学难、就业难与数学联系在了一起，不for all的话数学就失去了教育的公平性，这可就不是小问题了。所以，“Mathematics for all”这一理念的提出，首先考虑的是人的社会生活和职业的需要，强调的是数学和人的生存质量之间的关系，所以数学教育应该for all，一个都不能少。后来我国的学者结合中国的数学教育现实、社会现状，根据中国数学教育发展的需要，开展了具有一定规模的，比较深入、系统的研究，提出了在中国实行区别于精英数学的大众数学的概念。这一研究，也成了今天数学新课程的起点。数学新课程主张，数学教育不仅要为学生接受进一步的教育做准备，更重要的是要与每一个学生的生活和职业相关联，要从数学的角度为学生提供成为一个好公民的价值观基础。这样看来，一方面大众数学的提法是有根据有道理的；另一方面，你提到的这个问题确实可能存在：如果我们的数学课程是每一个人都能应付的数学课程，势必导致整水平降低，无人冒尖，潜在的专家级人物缺少了成长的沃土，怎么办？！

对这个问题，我倒没那么担心。我的观点是，如果把数学教育比作一间房屋，大众数学就像这间房屋的地板，是“地板上”的数学。每个人都要先学会在地板上站立，站稳、站牢。每一个都要掌握让自己“站得住”的数学。而地板到天花板之间还有一大块空间。不妨把天花板比作精英数学，只有在地板上站的结实、加之有愿望、有潜力、有天赋、有条件的，才有可能跳起来触摸到天花板。人人都摸天花板办不到，有人想摸并且能模到，就一定要为他留出足够的空间和可能性。如果这样思考，大众数学与精英数学之间的关系就和谐了：大众数学实际是精英数学的沃土，大众在满足生存需要的基础上都是未来数学家、科学家的庞大后备军。所以，数学越大众，学数学的人越多，才越有可能有尖子冒出来，在“地板”上站功最好的那拨儿，才有可能一跃而起去摘取那女王皇冠上的明珠。看来，基础是大众数学，然后才有精英数学。当然在大众数学与精英数学的和谐共进方面，我们仍然是任重道远。现在似乎大众数学的空间已经拓展开了，精英数学的空间尚待拓展，只须在机制上稍做调整，其实不难。

总之，无论数学也好，物理也好，推而广之，无论国家的政策也好，法规也好，都应该是为大众的，都应该首先考虑大众而不是小众的利益和基本需要。我们不能指望每个适龄青年都升入高中、大学，但我们希望那些从初中、高中毕业回家务工、务农、哪怕是作放牛娃的孩子，他们在学校的数学也没有白学！这一点应当是数学教育目标的底线。

你的问题都是好问题，每个问题都值得写一本书，但这样的书最好不是由理论家去写，而是由广大教师通过自己的亲身实践，用自己的体会去写。我希望广大数学教师对实施数学新课程中遇到的问题，多想想为什么，多思考该怎么办，多关注学生的反应和取得的进步，可能有些问题的答案也就明了。

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