思维训练需要建立模型

       —从“猜想、证明、拓广”一课浅谈“课题学习”

四川省成都市七中育才学校      魏进华[1]

【摘要】《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）把新课程初中学段数学的教学内容都划分为四个领域：数与代数、空间与图形、统计与概率、课题学习。其中“课题学习”是原初中数学没有的内容，它重在让学生在实践活动中运用数学知识解决实际问题，它是新课程的一大特色，是一种新型的学习活动。但数学课题学习难度较大，对师生双方都是一个挑战。如何利用好课题学习，提高学生的思维能力、实践能力，这是一线教师们面临的重要问题。本文对如何降低教学难度，促进学生数学思维的发展进行了一些积极的探讨。

【关键词】新课程  课题学习  数学建模

正文：

一、数学课题学习的认识

《标准》明确提出，要“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生的主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力”。

传统的教学方式在传授系统知识方面具有较大优势，但要在数学教育中，培养学生的探究能力、创新能力和实践能力，促进学生形成一种积极、能动地解决问题的态度与能力，就需要一种新的教与学模式。课题学习就是这样一种很好的教与学模式。数学课题探究学习是在教师指导下，围绕某一课题，它从提出问题到分析问题，再用数学知识解决问题，是一种实践研究性学习活动。学生在这个活动中亲自经历一个探索、想象、猜想、验证、反思等一个综合化的过程，不仅能提高学生应用数学知识解决问题的能力，而且能充分展示学生的学习个性，还能使学生感受到丰富多彩的数学文化，深刻体会数学的魅力。

二、开展数学课题学习的必要性

1. 开展课题学习能较好的促进教师业务素质的提高。课题学习给教师和学生创造性的进行教学活动留下了广阔的空间，它研究学习的对象是开放的，是不完全确定的，只要与数学相关的问题，或者是师生感兴趣的问题，均可作为一个课题进行研究。开展课题学习能充分发挥教师和学生的创造性，还能“逼迫”教师对一些问题主动进行研究，促进教师从“传授型”到“研究型”的一个转变，从而促进教师更好的适应新课标的要求。

2. 开展课题学习能较快的提高学生的科学素养。新课程标准指出：“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上有不同的发展”，要求数学教师需更多的考虑每一个学生未来发展的需要。而“课题学习”就是要求学生自己动手去做，自己动脑去思考。学生在参与探究的过程中既学习了科学知识，又养成了主动、积极的科学态度和科学精神。这样，在探究教学中，逐渐发展学生的观察能力、建立假设的能力、推理和预测的能力，从而提高科学研究的能力，成为有科学素养的公民。

三、感悟课题学习

不过，有部分教师对“课题学习”教学的必要性在思想认识上还存在一些的误区：有一部分教师直接把教师的知识或经验传授给学生，把课题学习变成了纯粹的讲授；还有一部分老师认为课题学习所选内容有的超出了教材要求，难度大，而中考也不怎么考，于是就基本不讲甚至根本不讲。其实这些做法都违背了教材编写的初衷，更有悖于新课标的要求。

在课堂教学中，本人对“课题学习”的教学做了一些初步的尝试和探索。下面，就结合我对北师大版九年级上册课题学习“猜想、证明、拓广”一课教学处理情况谈谈我的一些想法和感受：

1．教材特点分析 

九年级上册的课题学习“猜想、证明、拓广” 对培养学生综合运用初中阶段已有知识解决数学问题的能力有较大的帮助，是一节数学味很浓的探索研究课。在本节课中，学生将综合运用一元二次方程（包括根与系数关系）、方程组（涉及二元二次）、不等式，函数等知识来探讨“任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的两倍（一半）”这一具有挑战性的研究课题，而使用北师大新教材的大多数同学对一元二次方程根与系数关系，以及根据方程两根构造新方程，还有简单的二元二次方程组的解法等知识都没有专门学过。这似乎超出了教材的要求。其实，用一些教材没有直接讲明但是有紧密联系的知识来解决问题，正是新课标要求教材编写有一定弹性的体现。而本节课题的问题可采用多种方法求解，既可找寻规律进行猜想，还可举例验证，更可以推理证明，这样既能满足不同学习程度学生的发展需求，同时便于教师发挥创造性。所以，本课题只要抓住问题的本质，突出重点，就是一个提升学生综合能力的好机会。

2．学生情况分析

九年级学生已经掌握一元二次方程的解法及一元二次方程是否有实根的判断方法，会解不等式，掌握了运用消元法解方程组，掌握了一次函数，反比例函数的图像的画法以及根据图像交点个数判断方程（组）解的情况等知识，但对所学知识进行综合运用的意识和能力还比较缺乏。另外，在平时的生活和学习过程中对运用从一般到特殊，从特殊到一般的思路来解决实际问题方法有一定的体会，也听说过“歌德巴赫猜想”，对陈景润、袁隆平、费尔马等科学家有一定的了解，但对“猜想”的本质含义、对“猜想”的解决策略和方法、以及“猜想”对解决实际问题的作用缺乏一个清晰的认识。而本课题看似简单但又极具挑战性的问题对多数学生来讲因不容易找到突破口而感到困难，他们可以轻率地对结论提出一个猜想，但是对猜想结论的正确性如何进行评价以及证明往往感到茫然，个别学生甚至对解决问题的缺乏信心从而丧失探索的兴趣。因此，如何激发学生的兴趣，如何使这种“纯”数学的问题不让学生感到枯燥乏味，是我想解决的问题。

3．教学过程分析

（1）精选素材，创设情境，建立模型

提出猜想

以小规模数据验证猜想

证明结论

Yes

No

修改猜想

解决问题

心理学研究表明，兴趣是促进学生主动学习的内部动力，学生只有对所探究的课题产生浓厚的兴趣，才能想学、乐学、善学。本节教材一开始就提出问题“任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的两倍”，而对于为什么要提出此问题，解决此问题有何作用与价值，以及对这种感觉很难的问题应该怎样去思考，有没有一个模式等都没有一个必要的交代，学生接触此问题时很容易感觉一头雾水，从而丧失尝试解决问题的积极性和主动性，进而对本课题的学习带来障碍。此时，若给学生一种模式，就能很好的降低了课题的难度，而数学模型就能达到这个目的。我在课题的引入时采用同学们比较了解的袁隆平的故事来说明猜想的基本模式以及猜想对推动科技进步的作用，然后用同学们熟悉的勾股数过渡到费尔马大定理，再次感受猜想的基本模式以及猜想对解决数学问题的重要作用。通过两个事例，学生对猜想的方法及其作用有了一个较清晰的认识。就算学生对探究问题本身不是很感兴趣，但对猜想的基本模式和作用必然有一股强烈的好奇心，已禁不住跃跃欲试了。在此基础上我再明确提出本节课研究的课题，然后学生沿着这种模式走下去，那一切都是自然而然，顺理成章了，较好的调动了学生探究问题的积极性。

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