1．数及其运算与过去相比有哪些改变？

    《标准》中对数及其运算要求作了相应的调整，具体的表现在下面几个方面：

    （1）对于新数的引入和相关运算法则、运算规律的获得，强调学生的自主探索

    在初中阶段，将引入负数、无理数等新的数。对于这些新数的引入，既是数学学科发展的必然产物，也是解决实际问题的必然要求。而且对于学生而言，仅仅从数学学科发展的层面还很难理解这些新数引入的必要性，为此，必须通过实际问题的解决过程，让学生切实体会到原有的数系真的不够用，感受到引入新数的必要性。引入新数后，自然就要进行新数的有关运算，必须习得有关运算法则和运算律。《标准》要求学生理解这些运算法则和运算律，并能利用这些法则和运算律简化运算，为此，在课程实施时可以通过学生的自主习得加深学生对有关法则和规律的理解。当然，由于在数及其运算的引入中，加强了情境的创设，通过实际问题的解决引入新的数及其运算，这些也为学生自主习得有关法则和运算律提供了有利条件。如有理数。


    （2）重视在现实背景中对运算的意义理解和运算的应用

    对于运算首先要回答运算的意义是什么，或者说为什么要进行运算。为此，必须让学生通过具体的问题情境，认识到运算的作用，加深学生对运算本身的意义理解，同时也让学生体会到运算的应用，从而培养学生一定的应用意识和能力。例如，可以要求学生设计某些需要利用有理数的加法解决的实际问题。


    （3）对于运算工具，鼓励使用计算器进行有关繁难的计算和近似计算

    运算工具是随着时代的发展而不断发展的，《标准》鼓励学生使用计算器。当然，使用计算器并不排斥笔算。准确的说，应该是在学生掌握了一定的笔算技能的基础之上，鼓励学生使用计算器解决一些繁难的计算。

    （4）继续关注运算技能的培养，但对于笔算难度和速度的要求有所降低

    正因为繁难的计算可以使用计算器等其他计算工具，因此《标准》降低了对运算难度和速度的要求，而关注学生通过笔算加强对于算理的理解并获得一定的运算技能。如：对于代数式的运算、尽可能借用代数和几何中的背景，以及生活中的例子，解释运算的意义；对于有理数的加减乘除混合运算，《标准》仅要求以三步为主。

    （5）对于运算的方法，鼓励算法多样化

    “算法多样化”和我们通常所说的“一题多解”不完全相同。“一题多解”就是对同一个问题，从不同的角度去分析，会得到不同的解题方法，也就是说从多个角度去想会有多种解法，它有其优点，如可以使思维更开阔，从不同的方法中找到较优的方法等等。

   “算法多样化”则是鼓励学生用自己的方法解题，其本质是鼓励学生独立思考，拓展学生探索、思考和尝试的空间，所以它首先是对学生个性化学习的尊重，因为每个学生都有自己独特的认知基础和思维方式；其次，多样化的算法是一种重要的课程资源，有利于学生之间的数学交流；另外从学生的算法中教师还可以看出学生的认知方式以及思维的不同发展水平，便于因材施教……

　　“算法多样化”并不要求每个学生能够用所有方法解决同一问题，算法多样化应是对学生群体的要求，而不是对学生个体的要求，即对某一个学生而言，方法可能只有一种，但对众多学生而言，方法就呈现出多样化，同时通过反馈交流，让学生体验、学习别人的思维活动成果，掌握适合自己的一种或几种算法。所以，在教学中应让学生独立去解题，自己找出解决问题的方法，对学生选择的方法不要急于评判优劣，而应相信通过互相交流，学生完全能够自主选择适合自己的方法。如在学习二元一次方程组时，因为受前面学习的影响，有些学生还是习惯于用一元一次方程去求解实际问题，出现这样的现象是很正常的，教师切不可对那些学生训斥，而应让他们自己比较后做出合适的选择。

    案例：哪个方法好？

    （选自 马复 章飞  初中数学新课程教学法 东北师范大学出版社，2004，p245）

    这是二元一次方程组的一节应用课。在学生自主选择方法解决了我国古典名题《鸡兔同笼》（学生可以分别用小学算术方法、一元一次方程和本章刚刚学习的二元一次方程求解），老师提请学生思考这些方法的繁简程度和相互间的关系后，教师进一步呈现了下面的问题，要求学生自主选择方法解决：

    “今有牛五，羊二，直金十两。牛二，羊五，直金八两。牛羊各直金几何？”

    在其后学生的汇报中，发现几乎所有学生都能列二元一次方程，部分学生列的是一元一次方程，而只有几个学生用小学的算术方法获得答案。

    下面是部分学生对几种方法的评价：

    生1：小学的方法比较巧妙，我很佩服这个同学。但方程方法比较扎实。

    生2：小学的方法没有什么了不起，只是方程方法的解答过程……

    生3：二元一次方程组的方法最基本，列一个未知数只是将一个条件先用掉了。

    生4：二元一次方程组的方法最简单，但它的步骤多了些。实际上，没有一个绝对好的方法。

    学生的评价已经对方法的优化与选择做了一个比较好的诠释，是的，没有绝对好的方法，不同的学生有适合自己的不同方法。

    但教学处理中要注意两点：一是重视学生之间和师生之间的交流。不同的学生常常会采用不同的解题策略，这种差异的存在，为学生之间和师生之间的交流提供了很好的条件。而且只有通过交流，才能让多种算法全班共享；只有通过交流，才能了解各种算法的特点；只有通过交流，才能引起学生的自我评价和反思，找到适合自己的一种或者几种算法。二是防止“过度”算法多样化。也就是说并不是“算法越多越好”，而要看每一种方法是否有价值，是否确实是解决问题的有效策略，事实上，一个问题在课堂上出现几种算法要看班级的实际水平，主要应让学生在课堂中充分交流自己的想法。

    （6）对于运算结果的获得，在重视原有的精确计算的基础上，加强了估算

    一方面，估算在现实生活、科学计算乃至数学科学本身都有广泛的应用，另一方面，估算往往是学生综合运用不同知识与方法的有效场合。因此，加强学生估算能力的培养就具有了一定的现实意义。为此，《标准》中要求“能用有理数估计一个无理数的大致范围”，“了解近似数与有效数字的概念；在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值”等。当然，估算的方式很多，如可以采用“去尾估算”，可以采用“进位估算”，还可以采用“夹逼估算”等，这些有待于教学实践中通过具体问题的解决而逐步渗透，但需要指出的是，不应当将这些方法作为技巧，一项一项的专门教授、专门训练。

2．教学中怎样把握好运算的“度”？

    《标准》对运算方面的要求作了调整和改变，与过去相比，发生了很大变化，在运算的复杂程度和速度上降低了要求。但教师难免有这样的担心：要求的降低势必引起学生运算能力的下降。

    确实，中国中小学生善于计算是我们的优势，是我们引以为豪的，但我们过去对运算的要求定位于“又快又准”，把运算能力等同于运算技能，这是片面的。同时从国际范围看国际上许多国家对运算内容的定位也发生了很大的变化，注重口算和估算的地位，淡化固定的计算程序和方法，提倡计算方法多样化。所以有理数运算的教学，应注重使学生在具体情境中体会运算的含义。对运算的评价重点应放在学生对算理的理解，考查学生能否根据实际问题的特点选择合理简便的算法，而不能过分讲究技巧。

    当然，运算能力是学生一项基本的能力，所以在教学中对学生进行一定的运算技能训练还是必须的，但要注意把握“度”——如，学生能够心算100以内完全平方数的开平方运算（或反之），知道１０^４、１０^６、１０^８等特定数的开立方结果；能够心算100以内“完全立方数”的开立方运算（或反之），知道１０^３、１０^６、１０^９等特定数的开立方结果就可以了。

    对运算技能的培养，应采用多种方式进行训练，而不是搞“大运动量训练”。后者虽然可能在短时间内提高学生的成绩，但长期下去，会造成学生的厌烦，直至丧失兴趣。如对有理数的运算，我们可以采用游戏的方式，如“24点”，可以提高学生学习的兴趣，训练学生的思维，游戏是提高学生运算水平的有益活动，可以鼓励学生采用不同的运算程序获得结果。实验区老师认为这种方式的教学效果很好。

    另外，在教学中我们要注意：教材对运算的处理并没有企求一次就算完结，而是将运算贯穿于相关学习内容。事实上数的运算是整个数与代数的基础，式的运算基于数的运算，方程、函数、不等式等的研究也不可避免地要进行数的运算，所以学生在后续学习中运算技能及能力会不断得到培养和提高（一些实验区的反馈也实践证明这一点），所以相应地对运算能力的评价，要注意学段目标是该学段结束时学生应达到的目标，应允许一部分学生经过一段时间的努力，随着知识与技能的积累逐步达到。

    《标准》在“有理数及其运算”部分增加了计算器的使用，主要用于有理数的复杂混合运算；探索一些有趣的数字规律，发展合情推理能力；解决实际问题中的复杂运算。

    在实验的过程中，我们发现教师对计算器的使用存在两种截然相反的态度：积极允许和坚决反对。我们究竟该如何看待计算器的使用？笔者认为，首先计算器的使用要有一个时间把握问题，必须在学生已经掌握了基本的运算技能之后方可使用；其次，要防止学生对计算器的使用产生依赖心理，也就是进行任何运算都使用计算器。这种现象在实验区的课堂上出现过，如学生对简单不过的口算问题都要按一下计算器，教师也有反馈，“我们的学生过多地使用计算器，对数字越来越没感觉了，计算结果为都不化简”。如果计算器的使用使学生基本的运算技能都丧失了，那就得不偿失了。对此，我们教师要有意识地训练学生采用适当的计算方法去解决问题，什么情况下只要估算、什么情况下只要心算、什么情况下需要笔算、什么情况下需要计算器等。