话题2 如何的科学地培养学生运算技能

数与运算在小学数学课程中占有重要的地位，培养学生基本的运算能力一直是广大教师关注的问题。计算不单单是一种技能，它是一种基本的数学方法和数学意识，同时也是人们应具备的数学素养之一。计算教学是数学教学的一个重要领域，它直接关系着学生对数学基础知识与基本技能的掌握，关系着学生观察、记忆、意志、思维等能力的发展，关系着学生学习习惯、情感、意志等非智力因素的培养；从国内外课程标准和课程计划来看都十分重视计算教学，培养学生的计算技能已经成为小学计算教学的一个重要目标。

一、什么是运算技能

1．运算技能的含义

运算技能从心理学的角度讲，是指学生在顺利地完成运算任务过程中，借助自己的内部言语在头脑里进行的一系列智力活动方式。运算技能是指智力技能而不是操作技能，它是一种智力活动方式，其中主要包括思维、记忆、想象等，而思维占比较重要的位置。

2．算理和具体计算方法的关系

一些教师认为，计算教学没有什么道理可讲，学生只要把法则牢记于心，反复“演练”就可以达到正确、熟练的要求。我们不能想像一个连基本的计算原理和方法都模糊不清的学生能够灵活、简便地进行计算，会具有较强的计算能力；

一些教师认为，算理非常重要，在计算过程中让学生会说一整套的程序化的语言，以表明学生对算理的理解，这种任意拔苗助长的做法也是不可取的。因为这样做不符合孩子的认知规律，也不可能让小学生一下子说那么多？说那么多，他就是真的理解吗？

学生在小学阶段学过的定律有加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律五个运算定律。实际上从小学阶段到中学，一直到实数范围它是通行无阻的。从理论上讲只有运用了运算定律，才能保证某些计算结果的严密性。以前我们只把运算定律用到简算上，其实运算律不仅仅在此，更重要的是它能够保证整个计算的正确性，取得唯一的结果。

⑴ 整数加法的算理

324+324=648，它的算理是什么呢？

324+324

=（300+20+4）+（300+20+4）

=（300+300）+（20+20）+（4+4）

=600+40+8

=648

在这里既运用了交换律、结合律，还利用了整数十进制计数法，最后算出来和是648。运用运算定律能够保证计算结果的唯一性，这就是算理。而运算法则是人们进行计算的一个基本程序或方法，它是具有操作性的，先做什么，再做什么，最后做什么。运算法则，来自于算理；学生在做计算的时候是基于运算法则的，法则通常又要满足运算律，这就是我们平时讲课时应做到明确算理，掌握法则。

当学生没有学习交换律和结合律时，怎样能够保证计算结果正确呢？老师根据学生的实际，用操作和教具演示等方法。如学生在做加法时，大块和大块的放在一起，小块和小块的放在一起，单根和单根放一起，很直观，实际上就是把算理具体化和形象化的过程。

⑵小数乘法的算理

“0.3× 0.2”的算理是什么？有一部分老师认为就是把0.3和 0.2同时扩大10倍，积是6，然后再把6缩小100倍，最后结果是0.06。误把这样一个计算的过程当作了算理。

我们是这样理解0.3× 0.2算理的：

0.3× 0.2

=（3 × 0.1）×（2 × 0.1）

=（3 × 2）×（ 0.1 × 0.1）

= 6× 0.01

= 0.06

计算中根据小数的意义，并利用乘法的交换律与结合律，保证了计算结果的正确性。

算理是四则运算的理论依据，它是由数的意义、运算的意义、运算定律等构成的；具体的计算方法（主要指计算法则）是四则运算的基本程序和方法。运算是基于法则进行的，而法则又要满足运算定律。所以，算理为法则提供理论依据，法则又使算理具体化。

现在计算教学淡化了程式化地叙述算理和计算法则，重在让学生经历计算方法的获得过程，重在展示计算方法的形成过程，重在暴露学生的思维过程，让学生真正理解算理，掌握具体的计算方法，形成计算技能。在教学中，既要使学生知道怎么算，又要知道为什么这样算。学生明确了算理和具体的方法，才能灵活、简便地进行计算，才可能产生多样的算法。

⑶关于0.3× 0.2这个案例的讨论

具体到0.3×0.2，孩子们做了各种推理，这些方法都是把算理和法则融合在一起，有很高的思考价值。

下面展示学生的几种计算方法：

这种画图的解法运用了数形结合的思想，也就是在一个边长为1米的正方形中，长0.3米是3小格，宽0.2米是2个小格，画出来以后就是在一百格里面有6个，所以是0.06。这种方法非常直观，通过阴影部分与整个图的关系得出阴影占百分之六，百分之六就是0.06。这说明学生能够借助前面的经验来解决问题的，而且学生的形象思维比较丰富。在具体直观的图中，学生理解了算理。

其余几个孩子的想法，他们都有逻辑推理的过程：像 0.3乘0.2，他只把0.2扩大10倍，2乘0.3是0.6，然后把0.6再缩小10倍，就是0.06，他是在原有旧知识——0.3乘2已经掌握的基础上，探究0.3乘0.2的，最后得出结果是0.06。

学生的这些方法都是很可贵的，具有思维价值，值得教师很好地挖掘。这些做法已经把算理和具体的计算方法有机地融合在一起了，不必单独拿出来给学生讲算理。作为教师，在课堂上，应该好好地保护学生这种可贵的创造精神。

在案例的探索过程中，有的老师不禁要问：“要不要在这儿花那么多工夫？”回答是肯定的。在新的数学知识学习过程中，如小数乘小数学生第一次接触，一定要帮助学生在解决问题过程中，理解计算的道理，包括利用直观图、老师对学生的分析讲解等；让学生在理解的过程中，掌握具体的计算方法。

小数乘法学生没学过，但他们可以用直观、逻辑推理的方法来解决，这些方法都是用旧知推出新知，最后大家得出计算方法：小数乘小数的法则是先把整数相乘，然后，看它因数的小数位共有多少位，再从右边起，点出几位小数，这就是具体的计算方法。

我们再来看一节两位数乘一位数竖式计算的案例，执教者是杭州的特级教师丁杭缨老师。

3．课例呈现：21×3

⑴简要介绍课例片断

在具体情境中，提出问题，学生列出乘法算式。教师在引导学生探索方法中理解算理。

师：21乘以3到底等于多少呢？你能不能用以前学过的方法来解决这个问题呢？请你打开草稿本，把21乘以3等于多少，你是怎么算的，写在草稿本上。

生独立探索（略）

师：谁来解释一下，他是怎么想的？

 ⑴20 ×3=60            ⑵    　2  1

   1×3 =3            　  　   ×  3 

60+3= 63  　　　　　　

               　               6  3

生1：他是先把21分成两份，一份是20，一份是1，然后用3乘20等于60，还有3乘1等于3，3加60等于63。

师：对，用了昨天我们学习的方法来算今天的知识，把21分成两个部分，刚才这个小朋友已经说的，分成20和1，很好，然后再来看哪个小朋友的？你们愿意看这个

生2：我想先看那个小朋友的竖式的写法。

师：好，我们一起来看这个，这正是我们这节课学习的重点，用竖式来计算乘法，看明白了吗？

生3：看明白了。

师：我还不明白，我请这个小朋友上来，跟大家说，你这个3是怎么来的，6是怎么来的？

生4：这个1乘3等于3，乘法里面还另有乘法，2这里没有，乘法就不一样的，2再斜过来，2乘3等于6，就算出来是63。

师：你们听明白了吗？

生：听明白了。

师：你们都听明白了。什么叫2斜过来了，斜过来的意思是什么，你来说，就是十位上没有，把2乘以3，刚才他是用3去乘个位上的1，十位上有没有跟3相乘，所以他就告诉大家，要斜过来，别忘了2再乘以3，是这个意思吗？

师：这个3表示什么意思，我要把这个3用红色的圈出来，3表示什么意思？

生5：表示3个1，

师：所以这个3要写到个位上，6表示什么意思？

生6：6个10，

师： 6个10是怎么来的？

生7：因为那个2是20，不是2，十位上的2乘3是6个10。

师： 6是20乘3得到的，所以它表示的是6个10，因此6就应该写在十位上。谢谢你给我们一个竖式，本来是我要教的，结果你一写上来，就变成你教大家了，看明白了吗？

师：那我们来看这个竖式，他这个竖式是很有创意的，我们来看看你为什么这样写？

    2  1               1

   ×  3          ×  3

    6  0               3

                    +6 0

                     6  3

生8：把这个约等于60，在这里3乘1等于3，3再加60等于63。

师：这是很有创意的一个竖式，我们给他命名为“曾氏竖式”，他说的第一步是大约的，20几乘3，等于60几，等于60几呢，然后他再乘个位上的等于3，最后再加上前面的60，结果等于63。道理还是有一点的，对不对？我觉得这个曾同学还是很不错的，老师没教过他，他自己发明了一个竖式，就是发明的这个竖式，和我们现在规定的竖式不大一样，我建议你用这样的竖式来计算，可以吗？

师：我就把你有创意的竖式，很不忍心地擦掉了，同学们我们今天学的乘法的竖式，是我们今天学的重点，但是我们在解决这个问题的时候，我们还可以用昨天学的知识，那就证明昨天的知识和今天学的知识肯定是有联系的，对不对？有怎么样的联系，我们来找找它们之间的联系好不好？

师：我点一个竖式中的数，你告诉我他相当于横式中哪一步呀，你把它圈出来吧。

师：那么谁愿意上来点点看，在这个图中是指哪一部分呢？

师：看来它们之间有着密切的联系，我们把同学们的回答总结一下。

（学生在把竖式中的结果与图联系时的确有困难）

师：你上来指指看是指哪一部分，在图中是指哪一部分？刚才这一个小朋友指的是这一部分3乘1，那么现在2乘3十位上的2乘3是指哪一部分呢，圈一圈哪一部分？

师：你看竖式中的每一步和我们刚才口算当中的每一步，还有跟我们的图形它都是有联系的，我们一起来看大屏幕，老师为了把刚才我们点的把它写上来，你看三个羽毛球相当于口算中的1乘3，相当于竖式中的个位上的1和3相乘；再请你看我们第二次的时候，我们是这样子的来说的，接下去这根线应该连到哪里去呢，6，好，脑子里都联清楚了，原来这三者之间是有联系的。

好！同学们，刚才我们通过这样的计算得到最后的结论是，21乘以3等于63个……

⑵课例评析

刚丁杭缨老师这个教学的片断给我们最大的启发有两点：

第一，老师给足学生探索的时间和空间。

过去教师往往是把把竖式呈现给学生，让学生模仿，只要计算正确，就算完成教学任务。这种只关注学习结果，忽视计算过程的教学就失去了学生独立思考探究的机会。丁老师在课堂上鼓励学生，让他们用自己的方法来解决问题，为学生的数学学习发展创造了良好的条件。我们看到课堂上有的同学列出横式进行口算的，20×3=60

1×3=3

60＋3=63

21乘3，先用20乘3得60，再用1乘3得3，最后把这两个结果加到一起得到63。还有的同学用竖式来计算，    

              2   1

                      ×       3

                           6   3

在竖式中还含有不同的方法，

2  1             1

   ×  3          ×  3

    6  0             3

                   +6 0

                   6  3

这位被老师称为很有创造性的算法，算式里将估算和运算相结合，老师给了学生一个交流的平台，并热情地给予鼓励。正是因为学生给学生一个宽松的、自主尝试的机会，才让学生对算理与计算方法有了这样一种体验和感悟。由此使我们想到计算教学的价值决不仅仅是只会计算就行了，而是在计算过程中激发学生积极主动地探索，使学生的创造潜力得以发挥。在课堂上，我们还看到老师收和放都比较自如，恰到好处地在学习探索中给予引领。在这点上也给我们较大的启发。

第二，在直观的教学中理解算理。

面对学生各种各样的算法，教师精心地设问，引发了学生更深层面的思考。在横式、竖式的比较中，沟通了它们的联系，特别是在算式与直观图形的比较中，深刻地理解了算理。如老师提问计算结果的“60”、“3”各表示什么意思，在图中你能够找到它吗？教师帮助学生在口算、竖式和直观图建立它们之间的联系，巧妙将算式和实物相结合。学生在联系中理解了21×3的算理。教师把抽象的算理具体化、形象化。站位高，有想法。

但是，也有一点遗憾，就是当那个学生写出的算式和规定的算式不一样时，老师肯定他的算式很有创意，可是老师最后还是不忍心地将这个算式擦掉了，这真是有点遗憾。因为把孩子们富有创造力的想法展示在黑板上对学生是具有激励作用的。其实把这个算式留在黑板上，让孩子进行比较，在比较中进行思考，通过思考加深对乘法的认识。

这个片断用时比较长，但重视学习过程是非常值得的，它远比直接告诉学生具体的计算方法要厚重得多。虽然占用了一些时间，但这个过程是非常重要的。教师舍得给学生时间，让学生在这样的一个时空里得到很好地交流，他们的创造思维得到了充分地展示。学生在这样的课堂里学习数学，学生的数学能力会不断提升，他们能够掌握更多的数学学习方法，而师生的交流促进了学数学学习的发展。

作为小学数学教师，要不断地学习和深刻地领悟运算中的算理；另外要在算理与具体的教学方法有机结合方面进行很好地探索；使学生能够在直观的、数形结合的实践操作活动中，进一步深刻地感悟数学计算的道理，很好地掌握计算的方法。