五、空间观念

    最后呢，我们从整体结构上来对空间与图形进行思考。新课程强调从多种角度来认识图形，认识空间，也就是几何绝对不等同于有关图形的计算，它是对空间和图形的刻画和把握。如果要刻画一个图形，需要刻画它的特征，所以要学习图形的认识；需要刻画它的大小，所以要学习图形的测量；需要刻画它的位置，这个正方形跟那个正方形形状和大小是一样的，但是一个在这个地方，另一个在那个地方，那就要刻画它们的位置，所以要学习图形与位置；需要刻画它的运动，所以要学习图形的变换。进一步，这些刻画图形的不同角度，在几何学中都是有很大的发展的，包括坐标几何学，包括变换。结构的变化不是对过去课程的一个简单否定，而是在过去的基础上，使得学生能够从多种角度，多元多维地来认识图形，这点在小学阶段是非常重要的。

1．空间观念的体现

对于什么是空间观念，空间观念体现在哪些方面，首先，我们还是看看不同人的看法。

孙晓天：小学数学提出空间观念这样一个概念，具有创新意义，是有相当大的积极意义。为什么这么说呢？小学的空间观念着眼的是空间，我想它主要是解决了两个问题。一个是怎么把握空间。这空间观念说白了就是三维和二维空间之间的相互关系，你的这个把握能力怎么样。在小学几何里面，无论是哪一套教材都体现的比较充分，类似于由展开图去想象它的实际图形，这个实际图形和它的展开图进行对位，以及通过描述所做的一些判断，像类似这样的题材在教材里非常多，我觉得这个都是帮助学生建立空间观念的教学内容。另外一个是空间推理。小学几何我觉得第一次有了推理，而这个推理呢又不是逻辑推理，这个是跟想象、跟直观、跟空间想象有关的推理。像类似这样的内容呢，在我们教材里面处理的也都是比较丰富的。这部分内容的教育价值，我想不用多说，这个无论是从教师培训哪，还是从专家讲座里啊，其实都说的很清楚了，就是空间观念对位于创新意识的形成。

王尚志：我们不能忽视另外一个方面，那么就是几何是通过图形的方式展示出来的，它不仅帮助我们去了解图形的性质和图形性质之间的逻辑关系，还帮助我们建立起一种几何直观，即用图来说话。我想希尔伯特在他一本非常重要的书《几何直观》里非常清晰的描述，几何学的这方面的一个基本定位，就是要培养学生会用图形来描述问题，来刻划问题。那么帮助学生学会通过图形，来发现解决问题的思路，帮助学生能够用图形来描述我们得到的结果，我想这些绝对在数学中是非常重要的。我还希望强调的是，这样一种几何直观的能力，不仅在几何学中是重要的，在我们算术的学习中，在代数的学习中，在其他任何一个数学分支的学习和研究中，都是很重要的。

   周玉仁：空间观念可以看成物体和图形的形状、大小、位置、关系等在人脑中的表象。

在课程标准中，对空间观念也进行了刻画。标准中提到，空间观念主要表现在：

l       能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；

l         能根据条件做出立体模型或画出图形；

l         能从较复杂的图形中分解出基本图形；

l         能描述实物或几何图形的运动和变化；

l         能采用适当的方式描述物体间的位置关系；

l         能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。

具体分析，有这么几个角度：第一，就是转化，这个转化既包括二维和三维的转化，也包括现实生活与抽象图形之间的转化过程。特别是孙晓天老师特别强调了二维和三维空间的转化，是发展学生空间观念的一个非常好的途径。

对于二维和三维空间的转化，标准专门设置了视图与投影的内容。这部分内容的主要目的是通过观察、操作、想象、推理等活动，实现基本几何体与其三视图与展开图的相互转化：即当我们面对一个几何体或实物时，能想象出它所对应的平面图形（如三视图、展开图）；反过来，当我们看到某个三视图、展开图时，能想象出它所对应的几何体或实物的形状。此时，我们就可以理解，为什么要设计观察物体这样的活动了。有的老师可能会说，小学三视图的画法跟数学中三视图画法是不一样的，确实是有些差别。但我觉得在小学阶段，只要为学生奠定丰富的经验，没有本质上的错误就可以了。有的老师还说，明明从侧面看它是凹凸不平的，看的感觉是立体的东西，为什么要画成平面的。从数学上讲，视图实际上是平行投影，就相当于一束平行光线照在物体上后投射在墙上的影子。有的教材还出现了视角，那就相当一个点光源照在物体上。在教学上，教师可以利用投影仪，在投影仪上一看就是一个平面的。

第二，就是制作，或者画出来。有了图形以后，怎么去把它表达出来，无论是制作模型还是画出来。第三，就是分析。从复杂图形中去分解基本图形，在分析的过程中去体会图形的特征。第四，就是想象。既包括描述和想象物体或图形的运动变化，也包括描述或想象物体或图形的位置关系。第五，特别重要的一条，也是王尚志老师特别强调的一条，就是图形直观的作用。

2．发展空间观念的价值

    发展学生的空间观念，主要有两方面的价值：一方面，就是生活中解决问题的需要。在生活中、在所从事的职业中，可能真的需要有一定的空间观念。这就使人想起了前面采访的一位生物学研究者，他就提到了两维和三维的转化在他工作中的重要作用。另一方面，就是图和几何直观的作用。像王尚志老师提到的，用图来启发创造，启发思考。记得一位财会人员开始想象不到图形和空间观念在工作中有什么用，后来他也提到用图可以将几部分的关系直观地表示出来，实际上也说明了几何直观的价值。

    我们再看看国际上一些伟大的数学教育家、数学家，他们的看法：

弗赖登塔尔：几何就是把握空间……那是儿童生活、呼吸和运动的空间。为了更好地在这个空间里生活、呼吸和运动，儿童必须学习了解、探究和征服空间。

陈省身：几何学将是21世纪数学研究的前沿阵地之一。

姜伯驹：几何学正在迎来一个新的高潮。

阿蒂亚：几何是数学中这样的一个部分，其中视觉思维占主导地位。……几何直觉仍是增进数学理解力的很有效的途径，而且它可以使人增加勇气，提高修养。

庞加莱：我们是通过逻辑去证明，但我们是通过直观去创造。

3．培养学生的空间观念

   （1）为学生提供多种素材

空间观念的培养，绝对不能仅仅依靠长方形、正方形等所谓的基本图形，它就需要教师提供多种的素材和多样的活动。素材中有二维的，还有三维的；图形中有直的，还有曲边形；对图形既可以包括测量上的把握时，也包括一些特征的把握，也包括我们所说的变换上的把握，坐标上的把握，也包括像莫比乌斯带那样拓扑性质的把握。当然，并不是说教学中要讲这些名词，关键是设计丰富的活动鼓励学生去体会，从而建立经验。换句话说你把这门打开了，他就有可能发展，如果你这门永远打不开，或打的很窄，学生发展的空间就很小。

   （2）要重视观察、操作、想象、推理、表达的结合

我想这一点是非常重要的。空间观念绝对不是多摸摸就能培养出来的，还要鼓励学生思考为什么要去摸？什么东西要有意识要多摸一些？也就是除了操作，还有观察、想象、推理、表达，它们之间的结合无疑是非常重要的。

（3）根据学生实际发展空间观念

根据学生的实际来发展空间观念，这里既包括从学生熟悉的事物入手，还包括老师们一定要重视帮助学生克服困难。比如，前面有的老师提到了侧面观察学生比较困难，确实有一位北京的老师，她做了一个她班学生大面积的调研，发现学生正面观察没有太大问题，侧面观察问题比较大。进一步，她反思了自己的教学，发现一节课就是让学生正面看完、侧面看，花的时间挺多，学生也特忙，但是仍然这个困难没解决。后来，他又坚持思考怎么来帮助学生克服侧面观察的难题，想出了一些办法。第一，他发现学生为什么侧面观察比较困难呢？一个原因是，一般咱们上课给学生观察的物体都比较小，而学生又不太懂得什么叫做正对着一个面去观察，结果学生一观察三个面他全看到了，所以就影响了他的判断。后来，这位老师就有一个措施，就是从观察大的物体开始。他们班的教室里面有一个大柜子，他就组织学生去观察，从正面看。再从侧面看。学生再到一定年龄的时候，她就指导学生去观察小的物体了。第二，学生不会利用明显因素。他就鼓励学生带着思考去观察，先猜一猜有些不明显特征与明显特征的位置关系，再去观察、验证，然后再调整。当然，这位老师还有意识的在侧面观察中加大了时间。所以，无论如何观察都是一种有目的，有计划的，有思维参与的一种活动，不是简单的看一看的活动（《如何有效地培养学生的观察能力》一文见拓展资源8）。

（4）图形的认识、图形的变换、图形的位置、图形的测量对培养学生空间观念都有着重要价值，应将四部分有机结合

不要把空间观念的发展孤立起来，有的老师认为好像只是观察物体等特定内容在培养学生的空间观念。实际上，图形的认识、图形与变换、图形与位置、图形的测量，都对培养学生的空间观念有着重要的价值，在教学中应该进行有机整合。比如，我们可以把图形与变换与图形的认识结合在一起。

（5）要把握几何学习的阶段发展，明确小学阶段的学习任务，主要是直观上、整体上认识图形和空间，多装一些具体的东西在学生头脑中

（6）要时刻把握几何直观的培养，要有图形意识

图形的意识、几何直观的培养，不仅仅是在几何教学中，在其他内容的教学中，也应是重要的任务。比如在数的学习中，王尚志老师特别强调了两个模型，一个是数直线（数轴），一个是方格。讲加减法的时候就可以利用数轴，加法就是顺着数轴的正方向数，减法就是顺着数轴的反方向数。又如，统计中的统计图，数据的变化用文字描述了半天也不一定清楚，画个图它就非常的直观。再如，现在小学都比较重视渗透一些变化的内容，类似正比例、反比例等，如果结合图来认识变化，就非常有助于学生理解。

最后，对评价考试做一个简单的回应。对于老师来说，上好一节课是非常重要的，创造一些好的题目和好的评价形式也是非常重要的，所以在这里呼吁大家共同努力。除了前面介绍的几个题目以外，下面的题目也是我们收集的来自老师们的一些题目，供大家参考。

l         说出你能想到的关于下图中两个图形之间相同和不同的地方。

这个题目实际上考察了一个综合把握图形的能力。如果从特征的角度来说，这两个图形没有什么不同；如果从变换的角度来说，在旋转变换下，这两个图形可以看成是完全相同的，换句话说能够通过旋转，由一个图形得到另一个图形。那么不同的地方呢，显然就是它们在空间中的位置是不一样的。如果再把这个题目变一变，两个图形的大小可以不一样，就是将测量也用在其中。

l         如图，向同学交流”筝形“的特征。

这个题目实际上考察的是对图形特征的概括和描述。有的学生可能发现两个邻边分别相等，它是一个轴对称的图形。有的同学想到要与正方形区分，因此进一步说明它的四条边不相等。有的同学可能会描述道，只要画一个一般的三角形，将这个三角形沿一条边反射，就能得到一个“筝形”。

l       将一张纸对折两次，然后剪下来如图所示的图形，请画出将其完全展开后图形。

这道题是TIMSS国际测试中的题目。它既是对轴对称的一种考察，也是对空间观念的一个考察。

l          

这道题挺有意思的，它将度量、维数和空间观念结合在一起了。

本专题的最后，我想以进一步研究的问题作为结束：

进一步研究的问题

1. 选择1个对您启发最大的内容，做一次教学实践（教学设计、教学活动案例、反思案例、评价案例、学生调研等）。

2．在以上的案例中，请提出您认为最需要改进的案例，并请提供改进建议或替换案例。

3．根据本专题的内容，提出你们学校可以选择的校本研究课题。

这一专题的研讨马上要结束了，我们提出了的想法和建议确实是经过思考的，但也并不是完全的成熟，只是希望能抛砖引玉，引来您更好的思考。同时，这次研讨，你们的想法对我们的启发也是非常大的。我想我们的目标，就是共同发现问题，共同寻找经验，共同克服困难，最终使我们的学生在空间与图形这个领域中能够得到尽可能多的受益。