三、图形与变换

1. 平移、旋转、轴对称的要素

对于这部分内容，小学生通过操作活动直观感受到，平移就是沿着一定的方向移动了一定的距离；旋转就是绕一个点转动一定的角度，我觉得对于小学生就够了。但是作为老师，这样还是不行的，

在图形的变换中有一个非常重要的变换呢，就是全等变换，或者叫做合同变换。如果图形经过变换后与原来的图形是重合的，也就是图形的形状、大小不发生变化，那么这个图形的变换就叫做全等变换，它本质上是两点之间的距离不发生变化，换句话说在原来的图形中，任意两点的距离假设是l的话，经过变换后的两点之间的距离仍是l，所以全等变换是一个保距变换，保距离的一种变换，距离保持了以后，自然图形的形状、大小，都可以证明仍然是保持的。

全等变换有几种方式，其实可以直观地想一想，两个图形是完全一样的，要由这个图形运动得到那个图形，可以通过怎样的运动。首先可以是平移，平移到一定位置上，或者说对于三角形有一个顶点能够重合了，这时候无非有两种情况：一种情况是两个三角形的三个顶点的顺序是一致的，这时需要经过旋转两个图形就重合了；还有一种情况是顶点的顺序相反，这时需要经过反射（翻折）两个图形就重合了。上面的变换就是我们所说的平移、旋转变换和反射变换，它们是三种基本的全等变换。反射变换有的老师把它叫做轴对称变换，实际上一个图形经过反射变换后得到另一个图形，这两个图形是成轴对称的。

具体的什么叫平移，什么叫旋转，什么叫反射，我们不给出数学上严格的定义，而是直观地给予解释，并指出这些变换的基本要素。

如上图，如果原图形中任意一个点到新图形中相对应点的连线方向相同，长度也相等，这样的全等变换称为平移变换，简称平移。也就是说，平移的基本特征是，图形平移前后“每一点与它对应点之间的连线互相平行并且相等”。显然，确定平移变换需要两个要素：一是方向，二是距离。

如上图，旋转的基本特征是图形旋转前后“对应点到旋转中心的距离相等，并且各组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转的角度”。显然，确定旋转变换需要两个要素：旋转中心、旋转角(有方向)。

如果连接新图形与原图形中每一组对应点的线段都和同一条直线垂直且被该直线平分，这样的全等变换称为反射变换。垂直平分对称点所连线段的直线叫做对称轴。也就是说，反射变换的基本特征是“连接任意一组对应点的线段都被对称轴垂直平分”。显然，确定反射变换的关键在于找到对称轴。

有关三种变换的进一步阐述见拓展资源4。

反过来再来看前头举过的三个例子，比如说摩天轮转动这个例子，看起来又像平移，又像旋转。实际上，这个例子不是一个好例子。为什么这么说呢，就是因为它过于复杂了，说不清楚的东西太多了。比如说如果把人抽象成一个点的话，似乎能够看成绕着摩天轮中心的旋转运动。但是，在数学中单纯的讨论一个点的运动没有多大意义，实际上变换是平面上每个点都做同样的运动。如果把人抽象成一个三角形、或者一个长方形，你又发现它不是一个旋转了。有的文章是这么认为的，如果静态地看运动前和运动后的图形，人的运动可以看成能够通过平移得到，但是也不能简单的说就是一个平移，所以这个问题太复杂了，我们不建议让学生去讨论这个问题。又如，窗帘拉动这件事，也是很麻烦的。如果只看窗帘的一个边，确实是在平移；但是要把窗帘看成一个整体，又可以把它看成一种压伸缩的变化。所以这些例子都不是好的例子。在学习的开始，教师应该鼓励学生从具体情境中去理解三种变换，但是这时候选择的例子要简洁一些，并且说清楚关注的是什么。当学生有了经验以后，可以尽快的进入到图形的变换的讨论中。

2．学习这部分内容的价值

学习这部分内容的价值主要有两方面：第一，现实生活中存在着大量的图形的变换的现象，我们当然希望提供给学生一种数学的眼光，去认识和把握这些现象。第二，需要特别强调的是，变换对刻画图形的价值。现在很多几何主要研究的就是变换下的不变量。比如小学主要接触的是全等变换，研究的是在全等变换下不变的东西，这时我们把能够重合的图形看成是一样的。

3．教学建议

(1)重视操作活动，体会变换的特征

第一个建议就是要重视操作活动来体会变换的特征。特别在这部分内容，学生还有一些困难，比如学生在方格纸上进行平移的时候，在找平移距离的时候，不是找平移前后两个对应点之间的距离，而是中间空白那一段的距离。要克服这个困难呢，最重要的还是要操作。有的老师还反映，学生在旋转过程中，对确定旋转角度感觉很困难，我觉得也是要鼓励学生去操作。比如，有的老师在教学中就这样处理，甭管是什么图形，都套在一个正方形或一个圆上，运动时等于在变换正方形和圆。

当然，操作还应该与适当的想象相结合。低年级可以先操作然后再去回想变换的过程，到了高年级可以先去想象，然后再去操作，然后再回想。

（2）明确教学要求

在教学时，教师还应该明确教学要求，特别是作图要求。这里再明确一下，首先小学阶段的作图是在方格纸上。另外，对于平移的作图，只要求做水平方向、竖直方向的平移；对于旋转来说，就是作图形旋转90度后的图形。这些基本要求老师要把握住。

（3）从变换的角度欣赏图形、设计图案

学习图形与变换内容的一个重要目的是使学生运用数学的眼光看待现实世界，因此，教学中应鼓励学生从变换的角度欣赏图形，设计图案。例如，在生活中随处可见的美丽图案，学生在观察这些图案时，将发现其中包含的熟悉的图形；将运用数学的眼光分析图案的组成，如是否运用了变换；将欣赏这些各具特色的图案，发现其中蕴涵的对称美、和谐美、简明美；将以此为启发，发挥自己的个性和创造力，亲自动手设计图案以灵活运用所学知识和技能，并从中体会创造的乐趣与艰辛。

老师们可能会说，现在从一年级就开始欣赏图案，到六年级还在欣赏图案，有没有什么不同呢。教师应认识到欣赏图案的活动，还是对发展学生的空间观念，促使学生对图形进一步的认识。等到学习了变换以后，学生就可以从变换的角度来欣赏图案，分析一个基本图形发生了怎样的一个变换之后，形成了这么美妙的一个图案。

(4)重视从变换角度认识图形

首先，回到前面讨论过的平行四边形是否为轴对称的这个话题，确实在那节课中，孩子总是觉得平行四边形这么完满，应该是对称的。实际上，平行四边形是中心对称的，就是沿中心旋转180度以后能够重合。而轴对称呢，实际上是通过反射以后能够重合的，所以对称本身跟变换是不能够分开的。这样，我们就需要对一些基本图形的对称性进行梳理。比如正三角形，是轴对称的，但不是中心对称，但是它是另外一种旋转对称，就是可以旋转120度、240度能够重合的。所以说是否对称，实际上就是变换以后能不能重合。平行四边形是否为轴对称的案例片段及基本图形的对称性见拓展资源5。

需要强调的是，在认识图形的教学过程中，也要重视变换。比如有的老师在认识圆的过程中，除了让学生去折，体会轴对称，还鼓励学生去旋转。把两个一样大小的圆重合在一起沿圆心钉住，旋转上面的圆，总是和下面的圆重合的，这实际上就是旋转对称的一个想法，圆是关于任意一个角度都是旋转对称的。所以圆是个最完满的图形，它有无数多条对称轴，它关于任何一个角度都是旋转对称的。教学中不必介绍旋转对称、中心对称这样的词，但是可以设计一些活动，使学生从运动的角度认识图形。这个图形是跟那个图形不一样，可能是在边角上，比如说圆老师们会强调它是由曲线围成的，还可能是在对称性上，比如圆的广泛的对称性是圆的一个非常基本的特征。

再介绍一位初中教师的经验，我觉得对小学老师也会有启发。初中学生学习几何困难的一个原因呢，学生找不到复杂图形中的基本图形。比如要证明两个三角形全等，首先你得找到两个三角形，尤其图形复杂了以后，这就是个不小的困难。这位老师就特别舍得在图形的运动上下功夫，每次接手初一的时候，总是要花两节课，就是给学生一个基本图形，比如三角形、长方形，鼓励学生把这个基本图形进行平移、旋转、轴对称，观察运动后会得到什么样的图形。另外，他把以后将要出现的例题中的复杂图形全都摆出来，鼓励学生进行观察，复杂图形中某个图形，可以通过哪个图形得到，培养学生这种对图形的直观感觉。