五、图形的测量

图形的测量从知识上说是过去就有的内容，想必老师们都有很多教学心得。那么，和过去相比，新课程有了哪些新的想法，就是一个值得研究的问题。先从高年级圆的面积的教学谈起。

案例1  由圆的面积备课谈起

一个学校对于圆的面积的教学设计进行了讨论。首先，他们分析了教材，教材的基本呈现形式如下：

    教材将圆平均等分为了若干份扇形，然后将这些扇形“拼成”了近似的平行四边形和长方形，并且分的份数越多，就越接近平行四边形和长方形。接着，教材引导学生分析圆的周长与半径与平行四边形的底和高（或长方形的长和宽）的关系，由此推导出圆的面积的公式。老师们把“切——拼”的过程称为“切蛋糕”。

分析了教材后，大家谈起了最近分别看的有关“圆的面积”的三节课：

◆第一节课
    教师引导学生将16个扇形拼成不同的图形—在拼上下功夫。

教师从复习平行四边形面积公式的推导过程引入，然后引导学生将圆平均分成若干个扇形。接着，教师给了学生比较充分地探索和小组合作的时间，鼓励他们将这些扇形拼成了近似的长方形、平行四边形、梯形和三角形，如下图：

然后老师从中选取一种，引导学生推导圆的面积。

◆第二节课
    教师引导学生用某一个图形进行多种角度的推导—在推导上下功夫。

第二位老师从实际问题来引入，使学生产生探索圆的面积公式的愿望。然后，教师还是引导学生将圆平均分成若干个扇形，并将它们拼成一个近似的平行四边形。接着，他把重点放在公式的推导过程上，就是给了学生较长的探索和小组合作时间，鼓励他们用不同的份数进行推导，即尽管都是拼成近似的平行四边形，但由于拼的份数不一样，中间的推导过程也是不一样的。教师引导学生体会用不同的份数都可以推导出圆的公式。

◆第三节课
    教师一开始就给了学生比较大的探索空间，鼓励学生自由尝试解决圆的面积的问题。下面是学生的做法：

（1）圆中“得到”一个内接正方形。

学生：我们把圆形内部折出一个正方形，这个正方形的面积可以求出，但是我们不知道这多余的八个图形的面积怎么求。

（2）圆中画小方格。

学生：中间的小方格好数出来，但是旁边不满一格的不知怎么办。

（3）教材中的“切蛋糕”。

讨论问题：上面的三种教学过程，您最喜欢哪个？说说理由。

这个学校的老师喜欢三种教学过程的都有，分别的理由如下：

——喜欢第一节课，因为很多优秀教师就是这么上的，孩子们也很活跃，发展了他们的动手能力和创造能力。

——喜欢第二节课，因为学生推导的很扎实，对公式的理解就会深刻。

——喜欢第三节课，因为学生的想法挺新颖的。不知道我们学校的学生是否也会这么想？不妨做个学生调研。

随机抽取了一个学习小组，下面是调研结果：

学生们很快想到了类似于上面第三节课第一位学生提出的想法：把圆转换成正方形，在圆的内部画了一个圆内接四边形，在圆的外面画了一个圆外切四边形。正方形的面积知道，但这个（外切）正方形，它比圆多出这四块，然后就没办法了，因为这个不是三角形，它是弯的。下面，学生花了十分钟的时间，尝试把圆的面积和两个正方形的面积的联系找出来，但进展不大。最后，忽然有一个女生灵光一现：可不可以把这个圆，分解成很多很多的小三角形。

针对以上这个学校的教研活动，提出以下问题供大家思考：

1．在上述的三个教学案例中，哪个学生的活动是富有数学价值的？说说您的理由。

2．学生的想法和教材上的想法有没有什么联系？教材中为什么要“切蛋糕”？

3．面对学生的想法，您在教学设计中如何处理？

    案例2：学生对面积的困惑

1．学生对计算的“依赖“。

听了平行四边形面积的探索的一节课。教师开始给了一个长是10、宽是6的长方形，学生通过以前的知识马上得到长方形的面积为60。然后他给了学生一系列的平行四边形，它们的一个边还是10，另一个边还是6，相邻的两条边的长度没有变，只是越来越“歪”了。学生开始绝大部分还是认为面积是60，后来教师鼓励学生学生去观察这些平行四边形，有些学生开始觉得有点不像，但是还是有很多的孩子认为，面积就应该是60。他们提出自己的理由，比如说有一个孩子提到：这些平行四边形都可以看成是长方形逐渐拉动而成的，在整个拉动的过程中面积应该不变。

针对这个，老师通过课件演示，使学生强烈感受到：拉到最后一个，平行四边形的面积跟开始差的很大了。如下图：

教师觉得这下肯定很有说服力了。但还有一些学生站起来说：“确实我发现它们的大小不一样，但是它们的面积应该是一样的”。

2．关于周长的两个处理：

处理1：教师鼓励学生描一描、摸一摸、围一围、量一量、加一加等活动体会周长。但课后研讨中，老师们觉得周长很简单，没有必要这么多活动，似乎没有多少思维含量。

处理2：学生在描一描、围一围感知周长后，教师设计一个探索活动：探索一些特殊图形的周长怎么求。课后研讨中，老师们觉得很有探索味道。

针对上面的案例，提出下面的思考问题：

（1）对于上面的两个周长教学的处理，您的看法如何？

（2）在教学中我们发现，高年级的孩子对于周长和面积仍然存在意义理解的困难。是什么原因造成这种现象？

下面，对于图形的测量这部分内容，留一些作业供大家思考：

作  业

1.在新的课程中，对于图形的测量有了哪些新要求？谈谈变化的原因。
    2.在教学中可以从哪些方面促进学生对于度量（如周长、面积）的理解？