相识数学

张顺燕（北大数学系教授）

（选自《百家讲坛》系列丛书，《相识数学》中国人民大学出版社，2006年4月）

同学们好，老师们好，今天我讲的题目叫做相识数学，我打算展现给诸位一门特殊的学问和一门特殊的艺术，这就是数学。我希望通过这次讲座，能够改变你对数学的看法，能够丰富你对数学的理解，能够消除你可能对数学存在的误会，使你认识到数学的重要性，使得数学成为你的朋友，在你的学习和工作中，成为你的得力工具。那么我讲的主要内容包含着一，数学与艺术。二，什么是数学。也就是我准备给数学下一个定义，第三我讲数学的真理性，换句话说数学的定理，并不是客观真理。我想回答这个问题，四，我想讲数学的特点，那么，最后我可能提一下，数学的重要性，但是不会充分展开，因为时间不够，下面，我先讲第一，数学与艺术。

数学之美，是看不见的，它隐藏在大众的视线之后，因而，数学的美常常是被忽视的。而，只注意数学的使用方面，这样，使数学就变成一门枯燥的学问。或者只是为了应考，使得一些同学，或者一些人，对数学产生了一种厌烦，那么这是不符合数学本身的思想，也不符合现代素质教育的思想。因而，我要把数学之美，展现给诸位。那么，第一天，我要谈的就是说，数学是美学的四大支柱之一。美学哪四大支柱呢？就是我们屏幕上显示的，第一是诗歌，它展现了心灵的艺术。表达心灵之美，第二大支柱是音乐，第三个是造型艺术，造型艺术，包含绘画，雕塑，建筑，这三种艺术用来表达人的感情，表达人的情趣，那么，第四种支柱就是数学。数学展现的是心灵之美，展现的是思维的逻辑，是理性之光，只有把理性和感性的认识结合起来，那才是完美的美，这里面我要提提，为什么把美看得这么重要，我把美放在第一位来谈这个，那么我想有这么三条理由，第一条理由就是科学价值的评价有两个标准，一个标准是美学标准，一个标准是实用标准，任何一门科学，物理学，化学，生物学全是这两个标准。

过去我们讲数学忽略美学标准，重点地讲实用标准，甚至重点地只讲考试，所以这是不全面的我们把它纠正过来，第二个讲科学研究的任务有两条，一条叫判美，一条叫做析理，什么叫判美呢？这是我从中国古代大哲学家庄子的话里面摘取的，就是你看银幕上写的叫判天地之美，析万物之理。什么叫判天地之美呢？就是要把宇宙间的和谐和韵律找出来，而且鉴赏它，这就是判天地之美。那么，简而言之叫判美。那么第二个就是析万物之理，我们光判美还不很，我们得把控制事物的自然规律找出来，所以，科学的任务就是两条一个是判美一个是析理，我们想通过这个讲座，把数学的魅力展现给大家，把数学推理的奥妙展现给大家，这是第二个理由。第三个理由，我们说美和真连接在一起的，美国著名博物学家赫胥黎此人名气很大，就是说，达尔文的进化论是靠着这位赫胥黎才奠定了他的基础的，所以这是一位大博物学家又是一位大演说家。他说了这样一段很深刻的话，就是我屏幕上写的，叫做科学和艺术是自然奖章的两面，一面是用感情来表达事物的秩序，一面用思想的形式，来表达事物的永恒秩序。所以，美和真本来应该是连在一起的，希腊箴言有这么一句话，叫做美是真理的光辉，因而我们一定把美和真联系在一起。

英国诗人济慈写了一段诗，这段诗写得很好，就四句话，叫做美就是真，真就是美，这就是你所知道的和你应该知道的。因而，我讲了三条理由，讲美是研究数学必不可少的有了美你就有兴趣，有了美你就可以深入，美既是激发你的感情，又是推动你前进的动力，所以我想应该让我们怀着美来探索数学的奥秘，这是我讲的第一段。

那么，我讲第二段，什么是数学，因而我今天要给数学下个定义，但是我们看到给数学下定义是一件困难的事情，为什么？你拿任何一个东西下定义都不容易。比如举个例子，咱们给狗下定义，什么叫狗？你说它有四条腿一个脑袋，两个耳朵一个尾巴这是狗的必要条件，每个狗都有这个，四条腿，两个耳朵一条尾巴，但是，猫也有，老鼠也有，你这个定义不能够把狗从老鼠和猫里面区别开来，因而，真下个定义并不容易。不信你回去试试看，那么这就是说，给数学下定义也不容易，因而数学定义不是唯一的。今天我讲一个最基本的最追求最精湛的定义是恩格斯给的定义，叫做数学是数和形的学问。

我首先讲，数学是数和形的学问，它包含着两大分支，数学这棵大树它的根深深扎在现实世界之中。它有两大主干，一个是几何一个是代数。代数又分成很多分支，比如说，线性代数，高等代数，群论等，几何又分成很多分支，欧式几何，非欧几何，包括双曲几何，椭圆几何微分几何很多支，同时，这两大支干还互相交叉，形成很多其他新的分支，我们讲，数学是一棵大树，这棵大树如此之古老它已经有上万年的历史，这棵大树如此之常青，它每年都在发新枝。这个大树是如此之繁茂，它从自然科学深入到社会科学的各个领域。现在已经深入到深入的各个领域。这个树又是此奇特，奇特在什么地方呢？这个树是同根异干，同干异枝。同枝异叶，同叶异花，同花异果。它没有两个枝是一样的。没有两个叶是一样的。是非常奇特的一个树。等一下我们摘那么一两枝来看看到底它怎么奇特，到底它多么地不同。那么，现在我们先来讲，它的两大主干，一大主干是几何，一大主干是代数，那么，什么叫几何？几何是研究空间形势的，那么，几何是是是视觉思维占主导地位，要用眼睛看，培养知觉能力，培养洞察力。

我们看代数，代数是数量关系的科学，它有序思维占主导地位，它培养逻辑能力，培养符号运算能力，我们通常学代数，学几何，如果你没有从整体上把握这两个特征，那么我说你的几何和代数没有学透。事实上，由知觉和洞察力发明的那些东西，要靠逻辑来证明。所以这两者是相辅相成的。不能互相分开。

华罗庚他关于形和数之间的关系，描写得非常好。他说，数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分开万事非。那么现在我们回到数学定义，什么叫数学呢？在19世纪末，恩格斯根据当时数学发展情况，做了一个精密的总结。他说，数学就是研究空间形式和数量关系的科学。恩格斯这个定义，直到现在，仍然概括了数学的大部分。但是19世纪末，20世纪初又诞生了一个新的数学分支。比如数理逻辑，它里边没有形，也没有数，所以，很难数理逻辑又归到数和形的学问里边。这个定义也有它的局限性，因而，人们又企图寻找新的定义，那么今天新的定义我们就没有时间介绍，告诉大家的的确确还有，那么你自己也可以去寻找，我讲第三条。

第三条我讲花瓶上的几何学。大家看花瓶，这个花瓶上展现了三种几何。大家平时都听说过的，非欧几何三角形内角和不等于180度，双曲几何三角形内角和小于180度，这是双曲几何在底下呢。椭圆几何三角形内角和大于180度，它在上面呢。欧氏集合2，三角形内角和等于180度，在中间呢。所以，我们一下子就在这里看到了三种几何，那么，这三种几何是怎么诞生的呢？现在我来讲一讲。

首先我讲，一维几何就有三种不同的几何。那怎么说呢？咱们看看一维几何？一维空间就是一根线，或者一个曲线，用一个参数可以描述的。直线曲线都是一维的平面是二维的空间是三维现在我们来看看一维的几何。先看直线，直线画了三个点，我把直线左右分一下，我假定人站在B点，面向上，他的左手指左边，右手指右边，我这个图上写出来了，所以，A在B的左边。B在C的左边。那么，结论是A在B左，B在C左，结果A也在C左。对吧，但是，咱们再看看圆上的几何。我假定人站在B上，面朝外，他左手指的地方是左右手指的地方是右，所以，上面画出来左右了。那么，显然A在B左，B在C左，是不是A在C左呢？不是，现在，A在C右，这个位置关系不一样了，我们知道几何学是研究空间的几何形体在空间中的位置，及其相互关系的，现在它们的相互关系变了，在直线上B在C左，A在C左，那么，A比在B左，但是，到了圆上A在B左，B在C左，A在C右。展现的是不同的几何位置上表现了不同的含义

那么再看还也不同，看直线上三个点，ABC，B在中点，只有一个中点，AC都不是中点，但是看圆，A是中点，B是中点，C也是中点。每个点都是中点，因而，在一维空间，至少就有两种几何了，我们现在只考虑位置还没有考虑到长度。现在，回过头来，我们来看，二维几何。

讲二维几何，我们刚才讲了三种，叫欧氏几何，双曲几何，椭圆几何，我来讲讲这三种几何是怎么诞生的，首先我们看，欧几里得公设，我们必须回到出发点，欧几里得几何是公元前2000年前就已经诞生了这个几何一直是中学教育的重要内容，而且我们的几何，和欧几里得几何，本质上没有大的差别，只是后来做了些技术上的改进。那么，欧几里得集合是从5条公理出发，推演出几百条定理。非常复杂，非常深刻定理，那么，欧氏几何就成了一种样板，使得所有的人类文明的各个领域都以它为样板，把知识总结到，就是简化到最简，然后，再把复杂的理论推出来，这是非常好的一个模型。

那么，欧几里得几何5条公理我们把这5条公理重复一下。第一个就是接连任何两点可以做一个直线段，这没有任何怀疑，第二个一个直线段可以沿着两端任意延长，第三个，以任意点为中心，过另外任意一个点，只能做一个圆，第四个，凡直角都相等，第五条，如果在一个平面内，任意一条直线与两条直线相交，我们把图摆出来，任意一条直线与两条直线相交，如果，相交的一层的内错角之和小于π，那么它一定在这侧，如果α＋β小于π，那么，这两个直线一定在这一层相交，这是欧几里得的第五公设，后来，人们觉得第五公设比较复杂，改成一种等价的形式，就是过直线的一点有一条平行线，且有一条平行线，有这个，直线L上面有一点P，过点P只能做一条平行线。这就是欧几里得几何，欧几里得几何诞生之后，人们就开始研究第五公设，为什么前四条公设都是有限平面内，看得见，摸得着，第五条谁也没有到过无穷远，它的要延长到无穷远不相交，谁也没到过无穷远。对于欧几里得本人也有怀疑，还有的人觉得这个东西，不像公理，像定理，我能不能把它证明。所以，从欧几里得开始，就有各种各样的数学家来研究第五公设，或者想代替它或者想证明它，研究的总人数超过一个军团，但是，始终没有任何结果。到了17世纪18世纪19世纪，最著名的我们提出三个人来。

一个是1829年，俄国数学家罗巴切夫斯基，他写了书，他的书名叫论几何基础，在这个书里面，他假定过线外一点，有两条线与所给直线平行，得到了个几何，其中得到很多奇妙的定理，但是没有矛盾，一个是1832年，匈牙利的数学家叫鲍耶，他写一本绝对几何学，他也假定过线外一定，可以做两条线和已知直线平行，他也得到很多结论，他把他的几何学叫做星空几何学，他自己说，我通过自己的双手，建立了一个奇妙的新世界，也没有矛盾，他把这个东西寄给了高斯，大数学家高斯，高斯怎么看呢？高斯比他们早2、30年已经知道了这种几何形式存在，但是，高斯比较谨慎，他不敢说，他怕引起争论，他别人说他，他只是给鲍耶的爸爸回了封信，他说，你的这个想法我早就有了，所以使得鲍耶的爸爸感到很丧气，那么高斯的事情是从他死了之后，从他的手稿里面拿出来的，但是，当时这个思想是及其先进，大部分数学家没有接受它。一般人更不接受。

那么同时我们讲一讲欧氏几何有什么意义。我们得到了三几何，这三种几何都是相容的，彼此之间没有矛盾，那么，马上人们就怀疑，欧几里得几何是真理，这个事对不对，所以，这一点我们就提到数学的真理性。欧氏几何几何的诞生，动摇了人们的真理观使人们认识到数学是一种思维的产物，不是客观世界的产物，同时，又让人看到，三种几何不是两种几何，也就是说，数学是逻辑的产物，数学的结果比自然的结果要丰富，自然界只是其中之一。在这里边，我们顺便提及，三种几何在我们通常的尺度下，无法辨别，现在还没有测量仪器可以在正常尺度下辨别它的大小，在正常尺度下，三种几何的角度都接近于180度，高斯曾经找了三个山头，他以为很远了，测的结果呢？当然不是180度，为什么呢测量有误差，但误差非常小。到底是三角形不是180度，还是仪器不精确造成的，这个没法分辨，我们说了三种几何，我们拿出来几何来看看，的的确确，数学是这样，同枝异干，同干异枝，同枝异叶是不同的。每两个东西都是完全不一样的。

那么，几何学是不是只有这三种，有没有别的种呢，我们说，还有很多种几何，还有摄影几何有限几何，拓扑学，种类很多。那么，今天，还想再介绍一个，跟几何学有关的课题，那是想先介绍一下绘画和几何的关系。

达芬奇是文艺复兴时期最杰出的画家，他画了很多非常出色的画，他一生画得不多，但，每一幅画都是镜片。比如说，蒙娜丽莎，这大家知道的，比如说，最后的晚餐，达芬奇自己这么说过，任何人类探求活动，也不能成为科学，除非这种活动通过数学来表达，或者，经过数学证明，为自己开辟道路。他的绘画的就是以数学开辟道路的。那么，这里面我们就讲，他要画东西，怎么画呢？这很简单的事就是近东西要画大，远东西要画下，那么，近处大，远处小小多少？你不能笼统讲，远人无目，我不画眼睛就完了。那不成，因为那精确，你要精确地再现，你就要有数学定理，还有，眼睛看到的几何学不是欧氏几何。

为什么？我们站在铁轨的两边，看铁轨，那么近处宽越靠远处越窄。站在马路的两旁，站在这边看着这边宽，站在那边看着那边宽。所以，眼睛看到的几何学和欧氏几何学是不一致的，另外，还应该研究一个，眼睛看到的几何学，视觉几何学，而且应该把这种几何学画到绘画里面去，那么，我现在展现给大家一个图。而且，绘画还要以数学定理作引导，我们看这个画。

这是个走廊，这个走廊，是平行的，但是，你画出来不能画平行，你怎么画呢？你看，这是两根平行线，而且，这两根线是要相交的，相交到这一点，这个交点叫做没影点，这个交点叫主没影点，这个线叫水平线，所以如果我们作一个真实地表达客观现实的画的话，我们首先要有几何定理来保证，那么，我现在给两条定理。一定定理就是说，凡是和画面垂直的，那些平行线要相交，看到没有？还有，凡是和画面平行的这些线要画成平行。这就两个定理，当然我是我是粗浅地讲绘画，你深入地讲绘画，还要有别的定理。很得更深入。所以，你看到，绘画是要用到精确的数学，现在我们来看达芬其的最后晚餐。

这是耶稣，这是他的六大门徒，靠上看这是天花板，那么，耶稣张开着手，扶在这儿，诸位看看这个里边到底有什么几何构图呢？我们来看看的达芬其最后晚餐的几何构图，他分成这么几块，一二三四五六七八，中间这个正方形画出的对角线，耶稣的脑袋就在这个中点，这个中点是没影点，那么看，详细地看，这是两个对顶角，这个对顶角这边画着门徒，这边画着门徒，耶稣就在这里，上边都画出了大的天花板的位置，那么这个图就更加详细了，这边是六大门徒，这边六大门徒，这是耶稣的脑袋，然后这里是天花板看得很清楚，那么，最后完成的结果呢？就是，这是天花板，这是耶稣的头，在这两个对角线里面，这是六大门徒，这是六大门徒，而耶稣的两个胳膊，正好构成三角形，趴在桌子上，所以，他做了精确的数学构思。那么，现在，我讲一讲数学的特点。

第一个特点是抽象性，数学非常抽象，点，就是很抽象的概念，为什么？没有大小，只有位置。直线，有长度，许多宽度，平面，没有厚度，这要靠抽象。数本就是抽象，三，三是什么东西呢？只有和狗马结合起来才有意义，光一个三是很抽象的是从各种不同的具有三性的东西里面抽象出来的。所以，数本来就抽象，然后我们又把数抽象到ABC，ABC还不够，我们抽象成函数，泛函，一级高一级，所以，数学的概念非常抽象，而且，数学的论证也非常抽象。数学不靠实验，你说，歌德巴赫定理，我验证到100万那不成，得不到承认，必须证明，所以，数学一是概念抽象，二是推理抽象，就是它非常抽象。

第二个数学非常精确，是任何一个其他自然科学达不到的，它精确的定义还有准确的结论。是它的特色。在数学中没有含糊，一等于一，二等于二，没有可以通融的，讲个故事。有一次，三位著名人物访问云南，一个是文学家，一个是物理学家，一个是数学家。走到云南，靠窗外一了望，文学家感叹，云南的羊都是黑的。这个物理学家一看，说，云南有一块地上有一只羊是黑的。数学家也看了看，数学家说，在云南，至至少有一块地上，至少有一只羊至少有半边是黑的。因为，那半边他没有看到，他说的是极其准确的。那半边是花布的不是花的呢？那可能还是花的呢，所以数学的一大特点是它的精确性。

数学最后一个特点，第三个特点，就是应用的广泛性，这里面我们引用一下，华罗庚教授的一段话，他是这样讲的，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧地球之变，生物之谜，日用之繁，数学处不在。凡是出现的量的地方，就少不了数学，研究量的关系，量的变化，量的变化关系，量的关系的变化，等现象，都少不了数学，数用之用，贯穿到一切科学的深处。而成为它们得力的助手和工具，缺少了它就不能准确地刻画客观事物的变化，更不能由已知数据推出其他数据，因而，就减少了科学的预见的可能性，或减弱了科学预见的精确性。

华罗庚先生，非常精确地讲了数学的应用，事实上，我们讲，二次世界大战之后，数学，和过去的面貌，发生了质的变化，来原因有两条，一条是数学已经直接深入到社会科学各个领域之中，直接应用。一条，计算机诞生，使得人们可以通过计算机做数学实验，所以，数学现在的用处，非常之大，非常之广，超出了我们的想象。那么，这里面，我顺便提一下，就是说，数学将成为以后，人们选择职业，或考核人的水平的一大重要标准。换句话说，数学，越来越将和就业紧密地天下在一起，现在我们就业要文凭，要学历，把这个文凭学历背后要求的东西，分析一下，只有两条，一条是你的语文水平，你表达能力如何，一条是你的数学水平，现在在西方先进国家，已经把学历的考察作为第二位，首先考察的是这两个能力。他们把这两个能力，分成六个阶梯，不同的人，你进不了这个阶梯，你就休想做这个阶梯的工作，所以，数学的应用，已经渗入到各个领域，今天，我就讲这么多，谢谢诸位。

问：您在这里能不能给我们大家介绍一下，您是怎么样做您的工作，您的治学经验，以及学数学的一些方法，可不可以？

答：那么，刚才我给大家念了华罗庚先生的四句诗，他就讲，数缺形时少直观，形少数时难入微，这个话讲得非常深刻。在我做学生的时候，我曾经亲自听过华先生几次讲座，他讲的时候，就教导我们一定要把它联系其他，同时要把这个东西搞得非常透，搞得非常直观。那么，你才能学好，而我们现在，常常是从逻辑出发，实际上前面并没有消化就讲后面的了，所以，无论从学习来讲，从教书来讲，都应该把知识弄得更彻底，更简单。更明确，更直观，和生活的联系更密切。

问：我们现在教的数学就是叫做一条鱼，给它烧中段，头是什么样的没有看到，尾巴是怎么样的也看不到，只给学生介绍鱼的中段，所以，我在讲课当中，学生就问我，老师这个东西有什么用，以及这个东西，你怎么想出来的？

答：我们讲逻辑讲得多，讲直观讲得少，我们只讲定理的证明，不讲定理证明是怎么发现的，也不讲定理当初是怎么发现的。那么，历史上，我刚才提了很多，数学大定理的发现，它都不是逻辑的结果，都是猜测的结果都是实验的结果，你解个例子，比如哥德巴赫猜想，任何大于6的偶数，都是两个奇素数的和，任何大于9的奇数，都是三个奇素数的和，这是很著名的，大家都知道，那么这个就是猜测的结果。作为一个定理成立不成立，现在还没有证明。比如说，还有在自然数当中，我们知道有些数很特殊，比如素数，三五七都是素数，换句话，它只能被自己和一除尽，被的数除不尽，那么，素数在自然数当中，到底占多少？这个问题是很深刻的。我们看看大数学家高斯他怎么处这个问题的高斯他就算，十之内有几个，100之内有几个，1000之内有几个，他真算，算了之后，他从这个数据当中，来找关系，到了契比舍夫，他证明了。，那他是在前提算的基础上，并不是什么人一下就想出一个奇妙的公式来。

但是我们现在上课追究完美，不愿意讲这些东西，也不讲数学家在获得这些真理的艰苦奋斗的过程，我觉得应该讲，为什么？这样讲的话，就使得同学可以增加勇气，知道就是那些大人物，大数学家，他们证明一个定理也要不花不少辛苦，不是他的天才，坐下在那儿一想就出来。不是这样的，也花功夫的，那么对于培养同学们自己去克服困难，发明新定理，这是非常有利的。

问：张老师，我想问一下，您讲的几何数学和我们现在中学学的那个数学有什么联系？

答：我们现在中学讲的几何就是欧氏几何，就是过一点，只能做一条平行线和底下平行，在这个基础上，得到几何学，我们在中学里没有讲非欧几何，我觉得，这应该是一个缺陷，当然是在初中讲高中讲这个我们不好说，据我所知，国外是要讲非欧几何的。因为，认识一个事物，是要靠比较，只有一种，你就不知道它好在哪？而且，欧氏几何，的的确确还有很多值得研究的地方，还有值得改进的地方。如果我们把欧氏几何讲成一个完美无缺的东西，这个东西，一是不符合事实，二是对学生的成长，是不利的。反而觉得会变成一种崇拜了，而不是钻研有什么不足，我们怎么改进，事实上欧氏几何有什么东西是值得改进的。它不研究乱七八糟的东西，云彩什么样的树什么样的，这种乱七八糟的它不研究，但是这是真实的现实世界，那么到了上世纪70年代，又诞生了个新的几何这个几何叫分形几何。

它就专门研究云彩，树枝，闪电，就是各种各样奇奇怪怪的形状，从这些形状中，包括我们的视网膜，我们的血管，这种复杂的形状，而这种几何又非常有用，我以为我们中学里应该适当地介绍分形几何。