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几何思维水平和教学阶段(转)
作者:2203李玲…    文章来源:成长博客    点击数:    更新时间:5/17/2011

?希尔夫妇:几何思维水平和教学阶段

(节选自郑毓信著《国际视野下的小学数学教育》)

?希尔夫妇认为学生几何思维的发展可以划分为若干不同的阶段,就其原来的主张而言,即是以下的五个水平。

水平1:直观。学生能按照外观从整体上识别图形,这种识别活动并常常依赖于具体的样板,如学生说所给的图形是长方形,因为“它看起来像是门”,这时他们并不关心各种图形的特征性质,也未能清楚地认识各种图形的性质。

    水平2:描述/分析。

     学生已能确定图形的特征性质,并依据图形的性质来识别图形,但处于这一水平的学生尚不能清楚地指明两类图形之间的关系。

水平3:抽象/关联。这时学生已能形成抽象的定义,区分概念的必要条件和充分条件,并能通过非形式化推理将图形分类,即如认识到正方形可以被看成“具有某些附加性质的菱形”;但处于这一水平的学生尚不能理解逻辑推理是建立几何真理的方法,也不能组织起一系列命题来证明观察到的命题。

水平4:形式推理。这时学生已能对公理化系统中的未定义项、定义、公理、定理作出明确区分,并能作出一系列命题以对作为“已知条件”的逻辑结论的某个命题进行证明;但这时推理的对象还只是图形性质之间的关系,而并非不同演绎系统之间的关系,他们也还不能清楚地认识严密性的要求。

水平5:严密性/元数学。这时学生即使不参照模型也能以较大的严密性进行推理,这时推理的对象是形式化构造之间的关系,推理的产物则是几何公理系统的建立、详尽阐述和比较。

?希尔夫妇认为,年龄或生物成熟程度并非决定学生思维发展水平的主要因素,恰恰相反,后者主要取决于教学的性质。也正由于具有了上述的想法,范?希尔夫妇更加关注教学的问题。特别是,他们曾提出了关于教学阶段的如下划分,即认为学生需要在教师的引导下通过五个阶段才能达到各个新的水平:

阶段1:信息。学生开始熟悉相关的内容。教师对内容作出必要的说明,并使学生接触相关的内容。在这一阶段中教师应通过讨论了解学生是如何理解这些词语的,并通过提供信息引导学生从事有目的的行动或获得相关的认知。

阶段2:定向指导。这一阶段的教学目标是让学生主动地进行探索(即如折纸、测量等),从而能接触到所希望得到形式关系网络的主要联系;教师在此的作用则是通过仔细地安排活动以引导学生从事适当的探索,这时学生所从事的是实际操作,而教师则应选取那些目标概念和方法在其中较为明显的材料和任务。

阶段3:解释。在这一阶段中学生开始清楚地认识到所要学习的关系,并用自己的语言对其作出描述:教师则应通过引导学生用自己的语言对此进行讨论以使学生获得清晰的认识。另外,一旦学生表现出了对于学习对象的清楚认识并用自己的语言对此进行了讨论,教师就要介绍相关的数学专门术语。

阶段4:自由定位。现在学生遇到了需要综合应用早先阐明的概念和关系来求解的问题;教师的责任则在于选择合适的题材或几何问题,提供允许不同解法的教学,鼓励学生对所作的问题和自己的解法作出反思和说明,以及按照需要介绍相关的术语、概念或解题方法。

阶段5:整合。学生对所学到的所有知识作出总结,并将其整合到一个易于描述和应用的网络之中,数学的语言和概念被用于对这一网络作出描述,教师则应鼓励学生对所学到的知识进行反思和巩固,并应突出强调作为巩固基础的数学结构,也即应当通过将所学到的知识纳入到形式数学的结构组织中去以作出适当的总结。

?希尔夫妇认为,就所学的题材而言,在阶段5完成以后思维就上升到了一个新的更高水平。

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