整个数学的发展史就是一部矛盾斗争的历史。数学内部的矛盾是推动数学长河滚滚向前的主要力量之一。

　　数学以现实世界的空间形式和数量关系作为自己研究的对家，为了在纯粹形态上研究这些形式和关系，就必须和现实世界的内容割裂开来。但是，离开内容的形式和关系是不存在的。因此，数学按它的本质企图实现这种割裂，是企图实现一种不可能的事情。这是在数学本质中的根本矛盾，它是认识的普遍矛盾在数学方面的特殊表现。在越来越接近现实的各个认识阶段上，不断解决和重复上述矛盾，数学就不断地前进、发展，由简单到复杂，由低级向高级。

　　人类最早认识的是自然数，引进零和负数就经过了斗争：要么引进这些数，要么大量的数的减法就行不通。同样，引进分数使乘法有了逆运算—除法，否则许多实际问题也不能解决。

　　但是接着又出现了这样的问题：是否所有的量都能够用有理数来表示？发现无理数并最终使得第一次数学危机的解决，促使了逻辑的发展和几何学的系统化。方程解的问题导致虚数的出现，虚数从一开始就被认为是“不实的”，可是这种不实的数却解决了实数所不能解决的问题，从而为自己争得了存在的权利。数学就是这样在矛盾斗争中发展的。几何学从欧几里得几何的一统天下发展到多种几何，也是如此。

在19世纪发现了许多用传统方法不能解决的问题，如五次及五次以上代数方程不能通过加、减、乘、除、开方求出根来；古希腊几何三大问题不能通过圆规和直尺作图来解决等等。这些否定的结果表明了传统方法的局限性，也反映了人类认识的深入。

　　这些发现给有关学科带来了极大的冲击，几乎完全改变了它们的方向。例如，代数学从此以后向抽象代数的方面发展，而求解方程的根也变成了分析及计算数学的课题。在第三次数学危机中，这种情况也多次出现，尤其是包含整数算术在内的形式系统的不完全性、许多问题的不可判定性，都大大提高了人们的认识，也促进了数理逻辑的大发展。

　　由无穷小量的矛盾引起的第二次数学危机，反映了数学内部的有限与无穷的矛盾。第三次数学危机涉及集合论和数理逻辑，但它一开始就牵涉到无穷集合，而现代数学脱离无穷集合就寸步难行。一种极端的观点是只考虑有限集合或至多是可数的集合，不过这样一来绝大部分数学将不复存在。

　　即使这些有限数学的内容也有许多要涉及无穷的方法，有很多的数学证明都要用有限的步骤解决涉及无穷的问题。借助于计算机完成的四色定理的证明，首先也要把无穷多种可能的地图归结成有限的情形。对于无穷，计算机也是无能为力的。可见数学永远回避不了有限与无穷这对矛盾，可以说它是数学矛盾的根源之一。

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