理解数学归纳法原理的心理困难

菲施拜因(E.Fischbein) 等

评介 本文原标题为Psychological Difficulties in Understanding the Principle of Mathematical Induction，作者菲施拜因和埃吉尔(Engel，L.)都是以色列人。他们先作了一次初步调查，收集到学生的各种回答，了解到大致倾向，然后针对关键所在，选取学生的有关说法作为问卷中的问题深入调查，得到一定的数据，诊断出主要心理困难，方法简单，容易仿效。

本文实际上指明了：数学的程式化运算与对数学原理的理解是不同方面的问题，需要分别解决，不能混为一谈。即使学生掌握了有关的解题方法和技巧，仍有可能对概念、原理的意义不理解。这种情况在数学教学中普遍存在，只不过表现程度有所不同罢了。这是本文选题的深刻之处。

原文载于Proceedings of Psychology of Mathematics Education 13(1989)。(李士锜)

结 果

下面我们列举学生赞同或否定调查卷中说法所表达的理由,并作了分类，引用了一些例子。统计数据从略。

正确回答

(1)第一种类型：结构性的回答。

“两部分证明之后(确认了基础，证明了归纳推理)，就证明了命题对每个大于归纳基础的自然数都成立，假设就成了事实。”

(2)第二种类型：一连串过程的解释。

“数学归纳法过程证明了归纳假设。首先，我们肯定了归纳基础；然后，归纳推理的成立又肯定了命题对下一个自然数成立。这样，从归纳法基础开始，这种方法产生了无数个正确命题，于是，命题对每个自然数都成立。”

不正确的回答

(1)归纳假设的根据是有理由的。

例：①“如果归纳假设得证了，命题也就得证了。”

②“在与归纳假设相反的结论得证以前，应把它看成是正确的。”

③“只要归纳假没成立，命题就成立。”

(2)归纳假设的正确性是有保证的。

例：①“虽然证明过程未证明归纳假设，但我们知道它是成立的。”

②“归纳假设成立，因此我们可以相信它。”

(3)归纳假设的成立是不能证明的。

例：①“我们设了归纳假设成立，但不能证明它。”

②“归纳假设是完全不可能证明的。

(4)归纳假设的成立与归纳推理的成立没有关系。

例：①“可能有这种情况：归纳假设并不成立，而用归纳法原理的证明是对的。”

②“归纳假设虽然有可能不正确，但如果归纳基础和归纳推理成立了，对命题证明也就足够了。”

(5) 归纳基础的成立肯定了归纳假设。

例：“如果确认了归纳基础，我们就可以认为归纳假设中的数k 是就是起始数，因此命题对k 是成立。”

(6)归纳推理成立肯定了归纳假设。

例：“如果归纳假设不成立，我们就不能证明归纳推理。”

我们发现，只有28.3％的学生回答完全正确，有48.6％和2.8％的学生不能坚持正确的回答或是坚持了错误回答，20.3％作了其他各种错误回答。所以，大约有半数学生缺乏正确的理解，这说明了所教的概念与直观基础之间的不一致。

讨 论

学生面临的心理问题是：命题p(k)在归纳推理中出现了两次，一是作为被证的命题，一是作为命题成立的假设条件。

理解的难点是：p(k)(归纳假设)在推理过程中，不是作为被证的事实，而是作为假设——那是它的初始状态。困难在于学生必须将归纳推理(由p(k)成立得出p(k+1)也成立)的整个阶段建立在一个命题上，而它本身又未被预先证明，并且在推理过程中不加以证明。

事实上，学生完全不习惯这种推理方式。我们可以从一个给定的实际情况出发，归结出某个定理，然后通过检验这个过程来证实它，或者可以从一个理论假设出发，通过与实际情况相比较来证明它。一般我们不去检验过程本身所蕴含的意义。这个蕴含的意义与两个命题的成立没有任何关系，它就像在空中建造起一座两端没有支撑的大桥。

实际上，在最后阶段，数学归纳法将已经证得的命题(即p(n)对n=1 成立，及p(k)→p(k+1)联系了起来。由此，从n=1 开始，三段论的无限步就得证了。但遗留的事实是，归纳推理作为一个独立的命题，首先必须加以证明。

由于这种情况的影响，学生不能将归纳假设p(k)在归纳推理中看成一个命题。它是否绝对成立是没有关系的，于是，他们就会产生以下一些想法：

(1)归纳假设的成立是有保证的；

(2)归纳假设的成立是不能证明的；

(3)归纳假设的根据是有限的(在某种情况下，它可能不成立)。

简而言之，我们举出了上述方式以说明学生在理解数学归纳法原理时的难点。归纳推理需要一个建立于自身之上的证明，我们要证明的蕴含关系p→q 对于其两部分p 和q 来说，它们的客观正确性在归纳推理这一过程中是完全没有关系的，这个想法看来无法被学生直观地接受。这种情况被“前提p 已经包含了要求证的定理”弄复杂了。学生的想法是想验证前提是否成立，于是他们就弄不懂前提的承认要依赖于被证的定理。

按照皮亚杰的理论，形式运算阶段的主要特点之一是：青少年能按逻辑对命题结构进行运算。在这种命题结构中，蕴含意义起了一个基本作用，但事实要比皮亚杰理论的预言复杂得多。许多学生常常注意对被蕴含关系联系起来的每一个命题的绝对成立作思考，尽管这种成立性在形式条件中是没有关系的。

(李士锜译)