往哪儿指导?

    作为政府，考虑到自己评价的责任，希望能够根据学科内容和精心设计的能力要求，系统地提出教育的目标。这样做的优点是能够被“客观地”(他们这么说)进行测试——也就是说，用计算机测试。为了教师自己的方便，我们的客观主义者强调：只要教师相信他们的学生似乎可以达到规定的目标，教师就应该可以按自己的意愿自由地组织教学。教育管理部门受到那些希望形成这种评价手段的教育工作者的支持，同时又被那些预先怀疑其有效性的教育工作者所反对。在我看来，这种怀疑似乎是正确的，但这种怀疑没有尽到责任去寻找更好的评价手段。这是一个严重的问题，我们必须及时解决。

    同时，我们不能回避一个问题，就是往哪儿指导再创造。我不会将这个问题和学科内容以及精心选择的能力要求列在一起加以回答，这并不奇怪。他们确实是必不可少的。也就是说，和作品中的目录一样是必不可少的，就像眼下这本书的目录。但是目录和索引并不是很有用的，除非我们对内容本身是熟悉的——我指的是完全熟悉。

    不管学科的内容和精心选择的能力要求的重要性指的是什么，比起其他任何学科的教学，它们在数学中是相当少的。既然我强调了数学是一种活动，所以我对“往哪儿指导”这个问题的回答是“到一种活动中去”。换句话说，学生应该再创造数学化而不是数学，抽象化而不是抽象，图式化而不是图式，形式化而不是形式，算法化而不是算法，用语言描述而不是语言——让我就此打住吧。现在，意思已经很明显了。

    如果学生是被指导着去再创造这一切，会更容易学会、记住和迁移这些有价值的知识和能力，而如果是被强迫做的，那就不同了。

    差不多一个世纪以来，人们通过经验已经知道，有意义的内容比无意义的内容要更容易学会和记住。而这些经验主要是围绕着语言问题，最近更新的研究集中于数学，尤其是算术。乘法表是一个生动的例子——至少觉得它们是值得学习和记忆的(我一直认为这是值得的)。教学的方式已经发生了变化，最老的方法是让学生构造，比如说7 的表格，按自然的顺序1×7，2×7，3×7,……,或许是通过齐声背诵来达到目的的。一个按这   种方法记忆的学生只有通过将这个表格低声背到“6×7=42”时，才能回答“6×7=?”。现在这种方式已经让位于那种通过大量无系统的练习而进行的无指导的学习方式，就像背电话号码和地址一样。这种新的方式看来比老的更不成功，但是两者都是不可接受的徒劳行为。最近，注意力已经转移到所谓的“孩子的非形式方式”，比如将已知的3×7 翻倍，得到6×7。这种纵向的数学化的例子不仅应该被允许(从孩子的角度来看这毕竟不是一个小问题)，而且事实上也应该得到直接或间接的支持和鼓励，即通过学生相互之间的作用和影响来实现。

    也有迹象表明：有指导的再创造有助于这种转变，尤其是当文字题能通过竖式计算加以解决。我们将以适当的方式介绍这些现在可用的证据。