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    尽管我没有将“教学的”这个词放入第一章的标题中，但第一章的内容与其说是关于数学结构的教学现象学，还不如说是关于数学本身的一章。在这儿它又出现了。考虑到教与学之间的关系，我更喜欢用“教学(didactics)”，而不是“教育(education)”。这是因为我受欧洲大陆的术语所影响。我选择将它与“原理(principles)”结合起来(这意味着试图避开细节)作为第二章的标题，当然也是因为考虑到学科内容的关系。我所要谈到的原理也正是我所选择的东西。事实上，我被一个特殊的原理引导着，这个原理就是：对现象学分析的诸多结果做出教学上的正确判断。

    一个学科领域的教学论就是指与这个领域相关的教与学的组织过程。教学者就是组织者：教育开发者、教科书作者、各种教师，甚至也可以是那些组织个人或小组学习过程的学生。目前的工作一点儿都没有涉及到教学，也没有涉及到与作为活动的教学论相对的现成的教学论。我们对教学的观点将会反映第一章中谈到的关于数学的观点：通过数学化过程产生的数学是通过教学过程产生的教学反映出来的。请注意，预想中的平行性甚至会扩展为有区别的横向与纵向两种教学过程：由教学的实践开始，扩展为两方面：一方面是对这种实践逐渐有所了解，另一方面是将它作为范例。

    但区别还是有的：关于数学的观点是一种现象学分析的结果，而数学教学作为一种活动，是一个基本原理，这个基本原理是由学科领域的特征所产生的。当我们讨论数学教育的实践时(见3.3)，我们也将讨论这一点，我们会在更多的细节方面对这种平行现象加以详尽地阐述；同时，这种平行现象将隐含在思想的阐述过程中，这些思想已经有了构想，并将通过教学过程表现出来。所以，通过教学，就能从广义的平行现象来正确地判断第一章的结果。

有指导的再创造

弗赖登塔尔

    “问题解决”和“发现学习”已经成为时髦的口号，但它们只是口号而已，所以我从来不喜欢它们，尤其是看到将它们作为榜样以后，我就更不喜欢了。问题解决：按照教师、教科书作者或研究人员头脑中固有的方式解决他们的问题，而不是学生自己将某些东西作为一个问题来掌握。发现学习：即发现被其他某些人掩盖着的东西——隐藏的复活节彩蛋。

    数学是否是通过发现或创造产生的?或者说，在什么程度上它是作为科学产生的，在什么程度上是作为艺术产生的?对于这些问题我不想展开无根据的讨论。考虑到要组织的学科内容，我喜欢用“发现”这个术语；然而，在教的过程中，我很早以前是选用“创造”的，“创造”既包含了内容，又包含了形式；既包含了新的发现，又包含了组织。创造，照这里的理解，是学习过程中的若干步骤，这些步骤的重要性在于再创造的“再”，而学习过程的教学环境就是形容词“有指导的”所指的。在第一章里我分析了作为一种活动的数学。事实上，个体生活中的数学就是这样开始的。但是学生被允许像这样继续下去吗?好奇的孩子是不希望别人告诉他应该做什么的，而中等的和懒惰的孩子却喜欢被指导。所以为了说明按我的设想应该怎样来学习数学，很久以前我选用了“有指导的再创造”这个词。但是它并没有被引起注意，我是不是应该选用其他的词呢?幸好我没有。

    例如为什么不用“启发式(heuristic)”呢?老波利亚(Polya)在他杰出的著作中按照启发的方式指导小波利亚去再创造数学。我发现启发式正是阿基米德在得到一个意想不到的发现后发出的惊叫声中所包含的东西。

    一段时间以前，在查阅英语词典时，在“hetman”和“hew”这两个词中间，我找不到“heuristic”这个形容词；我只在一本荷英词典上找到了它，它是作为它的荷兰语相似词的翻译出现的。所以我去了一个更大的图书馆，在任何一本英语百科全书里既没有收录作为形容词性的“heuristic”也没有收录名词性的“heuristic”，然而却出现在我所查的最古老的荷兰语、法语、德语词典里。有了词典的帮助，我进展得稍微顺利一些，但我不得不求助于最大的词典去找到至少是形容词的“heuristic”；直到这个世纪的50 年代和60 年代，“heuristic”或“heuristics”才作为一个名词出现。毋庸讳言，在欧洲的词汇中，相应的形容词和名词早已成为适当地方的专门术语。当然，术语的缺乏并不意味着它们所包含的概念的缺乏。不管你信不信，回溯到25 年前，“全等”这个几何术语在标准英语里尚未存在，尽管我们可以理所当然地认为英国的教师和学生对全等三角形的了解与欧洲大陆人士一样多。

    毫无疑问， “heuristic” 是通过数学教育的方式进入英语词汇的。很不幸，“heuristics”也是这样进入英语词汇的，但其后缀“s”并没有反映physics 和economics的后缀“s”的意义。事实上，它指的是复数形式。与欧洲传统不同的是，那些以英语为母语的作者并不把启发式作为一种教学方式，而认为它是一种有助于解决数学问题的技巧和巧妙想法。当我做出自己的选择时，我不可能已经预见到这种发展。所以我选择“再创造”而不是“启发式”仅仅是运气而已。我不愿看到我试图以“再创造”来传达的关于数学学习的思想被目前时兴的所谓“启发式”盖过。

    在选择另一个恰当的术语——“发生方式(genetic method)”时，我失败了——因为它没有提到学生的任何活动：而且它似乎描述了一种狭隘的思维方法，尽管其本意并非如此。将学习作为一个发生的起源，同时将教比作工具和实施手段，这可能是一个很好的比喻，而并不是与“社会的”相对的形容词“发生的”所反映的生物学的关系。

    另一方面，不能否认数学在认知发展中的首次出现，看起来确实几乎就是一种生物的发生——我这儿指的是相似性和非负整数的出现。同时，数的充分发展是由学生的动力所驱动的。学生的动力在一种建设性的语言活动中证明了其自身(正如我早就指出来的)。学生或多或少自觉地再创造了数序，而且这种再创造活动甚至可以扩展到算术运算。众所周知，一些孩子再创造了他们自己的算术，这种算术在不同程度上依赖于孩子们的个性特征和他们所处的环境。然而，如果给予一定的支持，每个普通的孩子也许都有能力再创造出他在将来的日常生活中所需要的那么些数学，这种设想难道真的遥不可及吗?事实上这并没有发生，也很难确定这是否可能。因为一般来说，在一个有前途的开端以后，孩子并没有机会去再创造任何东西，至少在通常的学校学习中是这样的。相反地，知识和行为规范一般或多或少都是被强加的，正如儿童获得的大多数知识是通过教学而来的一样。至于到什么程度这种现象才算基本合理，这里也不是讨论的地方。因为在这儿我们关心的是数学，正如我早就解释过的，数学是不同的。而为什么它是不同的，理由之一就是历史。人类学习的历史过程能被个别的学生以某种方式重复一遍吗?既然一个聪明的年轻人能再创造出许多他自己的数学，那些不太聪明的孩子为什么就不能在别人——成年人或他们的同龄人的帮助和指导下也这么做呢?他们为什么不能在他们开始的道路上继续走下去呢?

    当然不用自始至终都如此。个人无须重复整个历史的起源，也无须回顾通过形式和内容不断地相互作用而产生和建立的知识及能力的概念等级。但是，为什么人们不能抓住机会去追求、去攀登、去钻研，从而达到他们力所能及的高度和深度呢?除此之外，在任何方面，在每个人所能达到的范围内，必定都存在着一定的标准。我承认这些标准的水平是多年来在数学教育中我更感兴趣的一种东西——只要是可行的，它的自然外延以及各种机遇、可能性都会尽可能地得到扩展。

    这是在人们应该学习的数学中是否要事先做出规定所产生了分歧的一个观点。应该允许学生发现自己的标准，然后在一定的指导下，探索能达到这个标准的道路。而指导的多少是根据各自具体的情况而定的。对于这个策略赞成与否，存在着一些合理的教学方面的争论。首先，知识和能力，如果是通过自己的活动获得的，就比别人强加的要掌握得更好，也更具有实用性。第二，发现是一件令人愉快的事，所以通过再创造进行学习是有促动力的。第三，它促进了将数学作为一种人类的活动来体验的观念的形成。

    历来，数学被当作一门现成的学科来教。把定义、法则和算法教给学生，然后要求他们按照这些进行学习。其实只有少数人是这么学习数学的。如果你问数学家他们是怎样念书的，他们中的大多数会回答你，他们设法再创造内容，我相信年轻学生可能也有同样的权利。为了正确判断现象学的分析，我把定义包括在学生有权再创造的事物范围之内。现成的数学的一个形式理论起始于定义和符号，以前，每个定义和符号也都是被创造出来的，它们逐渐在互相联系中发展。事实上，为了使知识成为高效且有用的，从而适合于与别人和自己交流(即记忆知识)，必须将知识(不管是如何获得的)加以组织并系统化。如果给学生以相同的机会，我们可以相信他能更好地理解定义和符号的必要性。但是定义和符号只是现成的数学的开始。尽管我选这些作为特别生动的例子，但是我所说的一切，都或多或少地包含了现成的演绎体系的过程。

    历史告诉我们数学是怎样创造的。我曾经问过这样一个问题，学生是否应该重复人类的学习过程?当然不应该。自古以来，历史正是通过避免走盲目的道路，通过缩短大量弯曲小道，通过历史自己重新组织的道路系统来修正自己。对于个别人的思想怎样发展，我们几乎一无所知，但我们可以从人类的发展中知道许多东西。孩子应该重复人类的学习过程，但并非按照它的实际发生过程，而是假定人们在过去就知道更多的我们现在所知道的东西，那情况会怎么发生。

    新一代继续他们祖先所形成的知识，但他们并不是跨到他们老一辈所达到的水平。他们被置于更低的水平，在此基础上重新开始人类的学习过程，尽管是以一种修改的方式。教育式作者承担了帮助他们的任务，但不是通过规定，而是通过允许他们再创造他们应该学到的数学。我认为这并不容易，而恰当地理解如何不容易和为什么不容易甚至就更困难了。最首要和最重要的事情是意识到这个挑战，并做好准备去迎接它，同时也要为那些准备按照原来的方式继续进行指导的人做好准备。在“教师培训”中我们还有机会再来讲这个问题(尽管牵涉到通过教学再创造的教学问题)，但此时我可以说常识和有指导的数学再创造会再次为回答这个问题打下基础。

    因为指导再创造意味着在创造的自由性和指导的约束性之间，以及在学生取得自己的乐趣和满足教师的要求之间达到一种微妙的平衡，所以答案就不是那么简单了。而且，学生的自由选择已被“再创造”的“再”限制了。学生可以创造一些对他来说是新的，而对指导者是熟知的东西。