二、实 践 过 程

      在实际教学工作中，笔者依照弗赖登塔尔的这一论点作了一些初步的尝试（主要是在概念教学和拓展性课程教学上），并获得了一些相关的经验供大家参考，同时也遇到了一些困难尚未解决，有待进一步探讨。
    在概念教学中，教师完全可以摆脱讲述式的教学方式，也不需要让学生背诵概念，当一个新知识是由学生通过自己的思维和“数学现实”建构形成的，那么教师无须过多地讲解学生也可以理解掌握。教师要做的则是提供给学生足够丰富的材料，以便让他们从中发现某些规律和性质，进而进行总结，形成科学且正确的观点；另外帮助他们将其发现的规律和性质提升为数学知识，并用严谨的数学语言表达出来，这一能力也是希望学生在学习过程中逐步培养起来的。
例如，在引入概念——奇函数和偶函数时，笔者让同学们先一起观察两个函数 和 ，当自变量x分别取-3，-2，-1，0，1，2，3时的函数值，填写下表，并画出函数的图象。
    在整个运作过程中，请学生自己去发现其中蕴含着什么规律，并用自己的语言告诉老师。学生的回答可能仍然是具体的而不是抽象的，并且不可能一开始就达到严谨规范的程度，他们往往会说：在x取 -3和3时的函数值相等或互为相反数；或者更好一点的论断是：自变量互为相反数时，函数值相等或也互为相反数。此时需要教师帮助学生将其结论符号化、数学化。再者，教师可以提供给学生大量的具有类似性质的函数和图象，让学生归纳总结出奇函数和偶函数的定义。即便学生没有能力做此项工作，笔者也不轻易地采用讲解法，而是让他们花上几分钟的时间阅读课本上的定义，然后分析给其他的学生和老师听，请学生做一回小老师。这样不仅可以培养学生的自学能力，同时还可以锻炼他们的语言表达和数学化的能力。
      另外，在进行一些运算法则的教学时，也可适当的调整教学方法，不要一味地告诉学生应当遵循怎样的原则，其实这些法则学生并不会把他们一一背诵出来，在做题时也不会事先考虑下一步运算中用到了那一条运算法则，而是全凭习以为常的反应，所以在教学中教师就没有必要去一条一条的讲解，而应当把重点放在法则的形成上。比如：在两个函数作和运算和积运算的教学中，笔者采用了完全不同于课本的方式，将运算法则转变成了让同学们自己去构造已知两个函数的和函数和积函数。有许多学生构造出来的函数同教材中“和函数”的形式完全不同，有的当中存在着这样或那样的问题，但也有一部分学生构造出的函数有一定的研究价值，不乏是一次不错的创新，利用这一机会教师可以鼓励他们发挥其聪明才智在此基础上或在其他方面进行探索。可以说不仅学到了知识，也学到了如何做学问的方法，一举两得。
      在基础概念掌握的基础上，要对所学的知识进行拓展，在这方面也可以充分体现“再创造”的教学方法。比如，在函数奇偶性的判断方法掌握以后，可以让学生自己去发现蕴藏在大量实例中的一些简单的方法，这样就无需每次均用定义来进行判断，毫无创新意识。教师可提供大量精心准备的合适的材料，这些函数可以看成某两个函数的和函数或积函数，请学生想各种方法去判断，并总结出可以推广为一般的结论：奇+奇=奇；偶+偶=偶；奇+偶=非奇非偶；奇*奇=偶；偶*偶=偶；奇*偶=奇；偶*奇=奇。这些论点相当简便，学生完全有能力自己去处理，只是学生描述的时候却会忽视一些前提条件，此时需要教师进行指点，将其语言数学化、规范化。又比如，在讲函数增减性的时候，同样可以适当的拓展一些复合函数增减性判断的方法，在教学过程中笔者采用了与前者相类似的手法。

    

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