2003年4月国家教育部颁布的《普通高中数学程标准(实验)》(以下简称《标准》)中,有三处提多面体欧拉公式.第一揣是选修系列2-1与2-2推理与证明”专题中,把探求凸多面体的面、顶、棱之间的数量关系(欧拉公式的发现)作为其教参考案例;第二处是选修3-3“球面上的几何”要求“利用球面三角形面积公式证明欧拉公式,体验球面几何与拓扑学的关系”;第三处是选修3-5“欧拉公式与闭曲面分类”中,要求“通过探索发现欧拉公式的过程,理解欧拉公式,理解欧拉公式的拓扑证明,使用欧拉公式解决一些问题.”从欧拉公式在《标准》中的频繁出现可以看出,多面体欧拉式具有较高的教育价值.那么它的教育价值何在，怎么样才能把它的教育价值挖掘出来、又如何开展它的教学等问题,值得我们深入探讨.本文将从欧拉公式的发现、证明以及运用与推广三个方面谈如何从思想与文化的高度挖掘它的教育价值.

1　欧拉公式的发现

多面体欧拉公式的发现有多种途径.

 1·1　一条常规的发现途径———归纳法1639年,笛卡尔从五种正多面体顶点数V、面数F和棱数E的关系的考察中,猜测出公式F+V-E=2,然而由于归纳的证据比较单一,对公式进一步有效的检验难以给出,因此他未予证明.在北师大版的义务教育课程标准实验教科书《数学》七年级上册第一章中,所编的“读一读”F+V-E=?,是用这种方法发现该公式的[2].

但是,实际上,在用归纳法发现该公式时,人们事先往往没有直接意识到三者之间的什么关系,更不会马上想到F+V-E,很可能的是先去寻求其中两者的关系,比如F是否都随V增大而增大、E是否随F或V的增大而增大,而后通过观察一些数据,发现这些问题的答案都是否定的.于是修改上述想法,通过进一步观察发现,虽然F和V都不是始终如一地随E的增大而增大,但“总的趋势”似乎是增大的,后来发现F和V是“联合”增大的,即F+V是随E不断增大的,考察一些数据之后,便得到三者关系的一个猜想:凸多面体的面数加顶点数都等于棱数加2.接着是寻求更多的事实来检验,以支持猜想,比如人们比较容易想到的是棱柱与棱锥.教学中需要特别提及的是欧拉通过“加屋顶”的方法,验证了由此生成的许多多面体符合这个猜想.受此启发,还可得到证明猜想的一点可能线索,即从某一符合猜想的简单多面体(如四面体或立方体)开始,进而通过“加盖屋顶”来导出另外更广泛的各式各样的多面体,对于猜想也适用.类似的还有“截角”多面体.但问题是,这样是否导出了一切多面体了呢?如果是,就得出了证明.然而,我们不能断定.因此上面的检验,给出了猜想的有力证据,增加了猜想的可信度,但还没有给出严格的证明.这或许是欧拉于1750年发现了这个公式,而在次年再给出它的证明的缘故,也正因为欧拉对这个问题的圆满解决,这个公式才被冠以欧拉的名字.总之,通过多面体欧拉公式发现的这一过程,要使学生明确用归纳法进行合情推理有两个不可分割的阶段:探索接触(启发性联想)和检验接触(支持性联想),正如胡适所言:“大胆猜想,小心求证”,这正是归纳法的写照.教学中,应让学生明确,由观察获得猜想往往是一个逐步的过程,最终比较可靠的猜想大多是从几个不同的观察角度经过反复筛选之后得出的.另外,应尽可能地再现数学史上用归纳法发现该公式的真实过程,由此,北师大版初一新教材“读一读”对此的这种“简单”处理,就不太合适,学生在初一阶段接触这个公式,似乎有点超前.

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