2·2　采用“回味术”　进行诱挖

得到别人的承认,是一个人再快乐不过的事了.教师要采用一定的技巧诱使学生挖掘课本知识,使学生始终处于挖掘和探索的欢快情景中,每当学生从课本、练习中挖掘或发现一些规律,教师应及时地给予表扬和鼓励,对于学生的一些通过观察发现的尚未完整甚至是有些错误的结论,教师不应讽刺、挖苦,而应鼓励、补充和完善,让学生回味体验.

例5　解不等式: ∣x-5∣+∣x+3∣≤10.学生解:由于∣(x-5)+(x+3)∣≤∣x-5∣+ ∣x+3∣≤10即得∣2x-2∣≤10从而解得-4≤x≤6.教师宣布正确答案恰好与以上解法的学生答案相吻合!此类学生很可能“挖掘”出:要解不等式∣f(x) ∣+ ∣g(x) ∣≤h(x),只要解不等式

∣f(x)+g(x) ∣≤h(x)即可.教师在作业点评时,将这种“典型错误”公布于众,并分析得到∣f(x) ∣ + ∣g(x) ∣≤h(x)与∣f(x)+g(x) ∣≤h(x)一般情况下是不同解的,学生似乎已经注意到自己的解法错误,以后可能永远不会犯这样的错误了.但是教师没有解决为何会“歪打正着”?即∣f(x) ∣ +∣ g(x) ∣≤h(x)与∣f(x)+g(x) ∣≤h(x)解集相同的条件是什么?使学生丧失了进行“挖掘”的研究性学习的机会,甚是可惜!其实,在数学教学过程中“歪打正着”屡见不鲜,教师必须正确处理偶然与必然的辩证关系,很多科学上的重大发现都是在“歪打正着”的偶然现象中得到的.由此可见,教学过程中让学生充分回味对数学知识挖掘的“失败”与“成功”,培养学生捕“特殊情况”出现的频率诱导学生归纳挖掘.

例6　已知a,b是正数,且a≠b,求证a³+b³> a²b+ab²(高中数学试验修订本第二册(上)

试验修订本 必修P12例3).由于课本P14的配套练习没有配制该例的类题,教师引导学生学好该例后,课堂上增加了“已知a,b是正数,a≠b,求证a⁶+ b⁶> a⁴b²+a²b⁴”(高中数学试验第二册(上)修订本 必修P16习题6·3题2),并且在当天作业中布置了“已知a,b不是相等的正数,求证(a+b)(a³+b³)>(a²+b²)²”(高中数学第二册(上)修订本 必修P16习题6·3题6).结果在作业评讲课中就有一个班级学生提出猜想:“已知a,b,m,n是正数,且a≠b,m< n那么aⁿ+bⁿ> a^mb^n-m+a^n-mb^m”,显然这是教师使用“缩小空间术”所起的作用!而另一个班级学生却没有发现这一结论.教师在作业评讲课中就马上增加了练习:“已知a,b是正数,且a≠b,求证a⁵+b⁵> a⁴b+ab⁴”.发现有学生不肯动笔,教师究其原因,学生回答:“方法都一样的!不必要重复劳动!”老师问“为什么方法会是一样的?你能编一个题吗?”结果在编题的过程中学生发现了一般的结论,显然这是教师采用“增加频率术”产生的效果!

2·4　采用“搭梯术”　进行诱挖

有些知识的挖掘需要一定的知识、方法和能力为平台.此时教师可以为学生“搭梯”帮助挖掘,不能因为学生的知识、方法、能力不具备而挫伤他们的积极性.当学生提出自己的某些“发现”而不能证明时,教师可提供材料或进行暗示等“搭梯术”帮助挖掘.例7　两条曲线的方程是f₁(x,y) =0和f₂(x,y) =0,它们的交点是P(x ₀, y ₀),求证方程f₁(x,y)+λf₂(x,y) =0的曲线也经过点P(λ是任意实数)(高中数学第二册(上)修订本 必修P88复习参考题B组题4).

有一个学生问:“经过f₁(x,y)=0和f₂(x,y)=0的交点的一切曲线的方程能否表示成f₁(x,y)

+λf₂(x,y) =0?”教师为这样的学生感到高兴,但没有直接回答.而是首先表扬他提出了一个很好的问题,并且请他回去思考,第二天再讨论这个问题.第二天该学生没有来和老师讨论这个问题,老师问该学生是否有思考过,学生回答到“我太傻了,因为经过交点的直线可以任意画,太复杂了,根本无法确定!所以我今天没有来和你讨论.”教师眼看学生挖掘这一知识的“火花”就要“熄灭,于是就问:“f₁(x,y)=0和f₂(x,y)=0表示的曲线是我们学过的直线或圆,你能否发现什么结论?”在教师的帮助下,学生发现了直线系方程和圆系方程.并且在后续的学习中,大胆地提出是否有“椭圆系”“双曲线系”以及“抛物线系”方程,这是教师的“搭梯术”起的作用.中学生由于他们的年龄特征和知识、能力平台的局限性,很多课本知识的挖掘是无法完成的.如果没有教师的帮助,会让他们探索知识奥秘的欲望减弱甚至消失.荷兰数学教育家弗赖登塔尔极力推崇数学教育的再创造理论.笔者认为应正确理解再创造理论.再创造理论的核心思想应该是培养学生的探索能力、精神和欲望,培养学生捕捉信息的敏感性,要克服“拿来主义”的麻木不仁的思想.但是,任何探索都是需要一定的知识、方法为平台的.例如,给你一些材料,建造一座房子,是考验和培养你的建筑能力和水平的过程.但是如果还要求你生产这些原料,然后再搭房子,甚至更远一点,还要你寻找生产原材料的工具等等,这显然是歪曲了再创造理论的本意.中学教材中的“拿来”现象比比皆是,它既为教师提供了广阔的挖掘课本知识的场所,同时也给教师提供根据不同学生进行挖掘知识的灵活性.由于课程标准(或大纲)的具体要求和学生情况的不同,教师可根据不同的情况灵活进行对课本知识的挖掘,如果能使学生具有捕捉信息的习惯和敏感性,教师的目的也就达到了.

参考文献

1　高中数学第一册(上)试验修订本 必修.北京:人民教育出

版社

2　高中数学第二册(上)试验修订本 必修.北京:人民教育出

版社

3　向建新.浅谈高三数学教学中如何善用课本例习题.数学通

报,2002,3

4　王全怀.挖掘课本习题潜在功能是培养学生思维能力的有效

途径.数学通报,1999,7

192004年　第2期　数学通报

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