数学发展中的几个里程碑
引言
里程碑：
对数学或科学具有全局性影响或长远历史影响的重大的或革命性的事件。
(I) 欧几里德的《几何原本》（公元前约300年）
---人类理性文明的形成；数学精神的确立。
(II) 牛顿与莱布尼茨发现微积分（17世纪下半叶）---对变量研究的开始；物理力学的形成。
(III) 高斯等非欧几何的发现（18世纪上半叶）
与黎曼几何的发现（19世纪中叶）
----空间观念的革命；广义相对论的发现。
(IV) 康托集合论的提出（19世纪中叶）与数学的第三次危机（20世纪初）---数学确定性的丧失。
(V) 图林与冯诺依曼关于电子计算机的发明（20世纪40年代）----基于数学与物理的一场影响人类社会生活的重大技术革命。
数学精神的确立
数的使用
数的使用象火的发明一样，标志着人类文明的开始。
演绎精神逐步的形成
---人类理性文明的发端
古希腊人的贡献
柏拉图：存在一个先于经验的理性世界（理想世界），人类的追求就是探索这个理想世界的奥妙。“任何对这种追求的忽视将比猪猡还蠢！”
亚里斯多德：确立了演绎的基本规律：同一律；排中律；矛盾律；
定义，定理，公理，公设；
毕德哥拉斯学派：掌握了大量几何定理的证明，特别是勾股定理。
公度、无理数的发现（希柏西思）
----演绎的困惑
无公度导致的问题
第一次数学危机的解决
（犹多可斯的贡献）
欧几里德的《几何原本》
13卷，465个命题，几百个定义，5条公理，5条公设
他以公理方法总结了前人的关于平面几何、数论、比例、空间几何等方面的结果。
5条公理
5条公设
（1）两点之间可以作一条直线；
（2）直线段可以无限延长；
（3）所有直角均相等：
（4）以给定点为心、以给定的线段为半径可以作一个圆；
（5）平行公设（另外叙述）
人类第一个完整的严密的逻辑演绎体系。
充分显示了逻辑的力量，是人类理性文明的发端
爱因斯坦：
“这种令人惊异的逻辑上的胜利，使人类的智慧对未来的成就获得了必要的信心。”
数百条的命题竟由几条不证自明的公理公设演绎出来。复杂纷繁的自然现象由一些基本的想象决定。
对科学的影响
在教育上的价值不容忽视。
1482-1900 1000种文字印刷，销量仅次与圣经，作为教材在西欧1000以上的历史。
明代徐光启中文译者。
与中国古代数学的比较
牛顿与莱布尼斯的《微积分》的发现
----人类科学史与文明史上的一个重要里程碑
数学从过去的只研究常量发展到到研究变量。变量、函数、导数（微分）、积分
微积分的发现核心是微分或导数的发现以及微积分基本定理。人们破天荒地能够计算因变量对自变量的变化率，并使得一批几何与物理问题的描述变成了一个微分方程，而微积分基本定理告诉了我们微分与积分之间的联系，使求积问题归结为微分的逆预算。
微积分与物理
物理为微积分提供了原型，而微积分为物理提供了语言与工具。
黎曼：“只有在《微积分》发现之后，物理才变成一门真正意义下科学。”
牛顿万有引力定律的发现：
开普勒三大定律 万有引力定律
Anold: 物理是实验数学，而数学是物理的一部分
微积分与几何---微分几何
拓扑学
微积分的进一步发展
测度论—概率论与统计学的基础
调和分析---小波
非欧几何的发现与黎曼几何的发现
----时空观的革命
欧几里德的第5公设引起的争议。
第5公设证明的失败。
发现了很多的与第5公设等价的命题：
现代的平行公理；
三角形内角和等于180度
矩形的存在
三角形面积有界
勒让德：有一个三角形内角和为180度
非欧几何的创始者：高斯，罗巴切夫斯基，泼约
关于非欧几何的争议及非欧几何的确立。
非欧几何的意义：
第一次结束了欧氏几何的2000年的一统天下。
人们开始质疑欧氏几何的必然性与客观真实性。人们要问：我们赖以生存的空间宇宙到底是怎样的几何？
几何的研究开始摆脱了直观及物理空间的模型的束缚。
黎曼的贡献
高斯关于曲面微分几何，曲率及内蕴几何。
黎曼关于弯曲空间的几何。
爱因斯坦广义相对论
康托集合论的发现
康托的贡献
集合的基数（或称为 “势”）
序数
提出了连续统猜想，推动了集合论与数理逻辑的研究
合的概念已经渗透到数学的各个分支
罗素悖论与第三次数学危机
公理化集合论
哥德尔不完备性定理
电子计算机的发明
电子计算机的基本特征
谁发明了电子计算机：图林？冯诺依曼？为什么都是数学家（逻辑学家）？
电子计算机的发明与广泛使用使数学的意义与价值大大提高，使数学在科学技术中的地位发生了革命性变化。
气象预报
计算机数字模拟（777）
CT技术
石油勘探
1985年美国国家研究委员会：“数学是推动计算机技术发展与应用的基础学科”他们把能源、材料、数学作为优先发展的学科。
计算机技术的发展也促进了数学研究
4色问题
信息安全与编码
戴威德名言：
很少人认识到，当今如此被广泛称颂的高科技本质上是数学技术。
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