几个例子

多年来人们提出了各种各样的关于改进教师培养工作的建议。下面是我所知道的几个。我肯定还有许多其它的，本刊是讨论这一领域中的各种改进方法的地方。

第一个例子是大约三十年前的了。1972年我参加了已故的Ken Ireland 在Bowdoin学院举办的一个暑期课程（人称Ireland- Rosen暑期课程）。它对我的一生影响极大。Ireland 的前提是，初等数学中有许多著名的结果已经成了“熟调子”。它们有的可以追溯到希腊，有的则来自算术和数论，有的则与经典的代数和分析有关（例如尺规作图的不可能性以及π的超越性）。说它们是熟调子，是因为绝大多数教师都知道其结果的陈述，但极少有人知道其证明或其历史。开这门课程目的就在于改进这一点。在六个星期很紧的课程中，Ireland给我们讲了理解这些著名结果的证明所需的数学背景知识，讲了它们之间的联系以及它们在数学历史中的地位。课程的基础是大约200个问题，一组一组地提出来，然后辅以每天的讲课，这些课程绝非说教，而且从此改变了我对什么是有效的教学的想法。令人吃惊的是这些课程竟然如此超前。鼓励我们一起作题（甚至几个人合作一份卷子也可以），这种作法在当时真是闻所未闻，在今天却是数学教育改革运动的亮点了。讲课的目的是告诉我们想要在这些问题上有所进展所需的联系，而不是给我们解题的模板。这种强调“教师只是辅导”的做法是今天教育改革的另一重点，而我记得在1972年，它对我们中许多人是何等的使人不安。这个暑期使我得到一种想法，围绕着中学数学的基础问题，采用一种以研究问题引路的教学方式，可以组织起很有分量的数学课程。

下一个例子也很老了。它的家谱要追到四十年前Ohio州立大学的 Rose计划。后来Glenn Stevens 和David Fried 还有Majory Baruch 和Steve Rosenberg把这个计划的改进版移植到Boston大学，称为“青年科学家数学教学计划” 即 PROMYS (Program In Mathematics for Young Scientists， 从下文看这似乎是一个为中学生开设的所谓理科班——译者注)已经搞了十年了。一直有教师（优秀教师和实习教师都有）在参加这个计划，连续两个暑期，每年花六个星期，沉浸在数论和其它数学学科中。对于教师，这种计划是一个绝好的例子，说明浸润在数学中对于教师的培养和在职提高是如何有效。这个计划围绕着三个活动：

1.    授课。由教师讲一门很重的数论课，和中学生一起听，为时六周。和Ireland的课一样，它以问题为中心：把一组精心选择的问题一天一循环地发出，评分再收回。Stevens每天上午上课。但是正如他所说的，“我注意到，一个问题除非人们已经为它苦干了三天，我是不会去讨论的。”

2.    研究工作。细心组织关于数论的研究工作。问题的选择应能获得确定的结果。为能作到这一点，每个教师和三个学生参加同一个研究计划。给参加者一些提示（在PROMYS中，称为“思路圈”），参加者利用它来在整个暑期中计划与实行这个研究项目。这些项目很容易入手，但是可能（而且时常如此）引导到很新很高深的领域。

3.    学年讨论班。在两个暑期之间，教师们要在教育发展中心（Education Development Center,即作者的工作单位）参加一个为期五天的全天讨论班，讨论如何把PROMYS的经验变为课堂教学的实践。我们在寻找PROMYS的主题与中学数学的联系。我们也在寻找让学生在教师讲课以前就能自己钻研问题的教学方式。

教师们都感到PROMYS的经验是无法抗拒的。他们看到了，做真正的数学是怎么一回事——这就是总是处在您所懂得的东西的边缘，要做的事总比您所能做到的事多得多，几乎总是从不知什么地方冒出来神秘的启示。为了解决这里会出现的麻烦事，建立了广泛的支持机构。总有大学生或研究生在旁咨询，上习题课，教授们也随时帮助。三个星期以后，绝大多数参加者觉得有了一个转折，他们开始像真正的数学家那样工作。他们对于数学究竟是什么开始有了一个看法，这会帮助一个教师克服我在前面提到的那些问题。

   上述两个例子都有一个占便宜的地方,即都不受学年制中学期和课程安排的影响.但是即令受此限制,也有人在试验非常有创造性的办法.

   伍鸿熙为那些不打算读研究生的学生建立了一套设计数学课程

的原则.这些原则包括了许多用以解决前述问题的办法.

    在大学课程的主题与中学课程的主题之间建立起明显的联系.

    把这些主题放到其历史背景下去讲.

    通过概述与通俗讲演把这些主题放到更广阔的数学背景下去讲.

    利用各种机会给出研究这些主题的动机.

    伍鸿熙在伯克利为主修数学的高年级学生开的几门课程中实行这一整套原则取得相当的成功.以他的代数课为例,在帮助优秀的教师把中学代数与作为一个分支的代数上走了很长一段路.

   Bill McCallum口头告诉我他在Arizona大学用 David Gay和 Fred Stevenson 写的教本所开的一门课。那些打算以后教中学的大学生不学抽象代数和分析，而改学两门新课：

数论与近世代数引论。从自然数讲起，一直到实数系的建立。其中，学生要考虑十 进展开的理论，要去找代数曲线上的有理点，还要研究实数的各种表示法。这门课程然后就给学生很广泛的研究题目以供选择，从Fibonacci数直到连分数。

几何专题。我看这门课就象一本每个中学教师都应放在背包里的东西的目录：量与测量，多面体，最短路径问题，万花筒，对称，等周问题，都考虑到了。

   Joe Rotman开了一门课（还写了教材）用于Chicago大学让学生对于研究数学究竟是在做什么有一个广泛的了解。这门课程一开始是用数学归纳法证明关于二项系数的结果，帮助学生对于写出证明具有信心。Rotman相信，学生需要的并不是列出那些为真，那些不真，而是要有时间来发展写出有说服力的证明的本事，于是，他在自己的课程中花了大量时间让学生去阅读证明，评论它们，发展它们，最后把证明写出来。课程的核心也讨论了序列的收敛性和复数代数。附加的主题则有Pythagoras数组，圆和圆锥截线的参数，对π的讨论则到证明其无理性，还有三次和四次方程式。

这些想法，课程，和例子都非常不同，但都有几个特点，而它们对于培养高质量的中学教师都是至为重要的：

   它们都有一个很协调的计划和集中的目标。

   它们都把数学表述为一种您去做的而不是您去记忆的东西。

   它们都强调做研究的数学家的思维和心智的习惯，而且讲得很明确。

   它们都把学生带到数学的文化中，这种文化有自己的历史，自己的审美观，自己的优美，甚至自己的幽默。

   它们都强调师生互动。

   问题先于抽象，经验先于公理系统，而学生的思考则是工作的中心。

每当我列出这样一个单子时，我总奇怪，为什么不把这作为每个学数学的大学生必备的经验？  在美国，设计数学教学计划时，总惯于列出要学的主题的清单。我们很会做这种事。到处都能找到很合理的清单。我在本文中想要争论的是，如果我们不能把做数学的精神传递给打算教数学的人，这种清单大概不会是有用的。

概括地说，我想提出这样的看法：几何是数学中这样的一个部分，其中视觉思维占主导地位，而代数则是数学中有序思维占主导地位的部分。这种区分也许用另一对词刻画更好，即“洞察”对“严格”，两者在真正的数学研究中都起着本质的作用。

    它们在教育中的意义也是清楚的。我们的目标应是培养学生发展这两种思维模式，过分强调一种而损害另一种是错误的。……我力图讲清的要点是，几何并不只是数学的一个分支，而是一种思维方式，它渗入数学的所有分支。

    我对几何作用的减少感到遗憾的另一个理由是，几何直觉仍是增进数学理解力的很有效的途径，而且它可以使人增加勇气，提高修养。需知我不是强要别人增加任何一门几何课。我只是请求尽可能广地应用各种水平的几何思想。

 M . 阿蒂亚著， 数学家思想文库之一 《数学的统一性》

任何数学都要讲逻辑推理，但这只是问题的一个方面，更重要的是用数学去解决问题，解决日常生活中，其他学科中出现的数学问题。……这就要培养学生的创造能力，学会处理各种实际数学问题的方法，但要做到这一点，光凭逻辑推理是不够的。

当然，我不是否认逻辑推理的重要性。一旦把几个重要的原理确定下来，我们还是要一步一步地严格论证，从原理出发，推出那些几何学命题和结论。另一方面，几何学有形象化的好处，几何会给人以数学直觉。不能把几何学等同于逻辑推理。应该训练学生的逻辑推理能力，但也应适可而止。只会推理，缺乏数学直觉，是不会有创造性的。

——吴文俊，数学教育不能从培养数学家的要求出发，《面向21世纪的中国数学教育》，

①中学里的几何概率论的中心问题就是通过计算区域的面积之比来计算一个随机的点落入该区域的概率。

②可在网址http://www2.edc.org/makingmath找到Michelle Manes为中学生和它们的老师提出的本计划中这种项目的例子。

③技巧当然很重要，但我的意思是，在职培训计划中太强调技巧，远远超过了对内容的重视。

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