把数学思想放到更广阔的背景中

大学本科的数学很能帮助优秀的中学教师把中学数学的主题放在更广阔的背景下面，使优秀的中学教师有机会想一下这样的问题：“它是什么东西的特例？”例如，想象一门大学课程会明确地讨论以下的问题：

   有没有这样的函数，它作用在有理数上如同绝对值一样？什么叫做“作用如同绝对值一样？”

   有没有其它合理的方法来测量平面上两点的距离？这对平面几何有什么影响？

   线性代数中有一个Cauchy-Schwartz不等式，统计学中也有一个Cauchy-Schwartz不等式。这只是偶合吗？

   几何概率论①使我们想起概率和面积有联系。难道这只是表面上的相似吗？

   书上都说Galois理论是讲解方程的，这究竟是什么意思？

   标准差的公式很象距离公式。这是偶然的吗？

   将一个Gauss整数平方，其实部和虚部恰是Pythagoras三角形的两股。这也是偶然的吗？

   线性代数中有一个特征方程，解差分方程也有一个特征方程。它们有联系吗？

    我想，如果经常地问这些问题，就会看到，中学和中学后的课程中，名称相同的东西的 相似性比我们想的大得多。

让教师在培训过程中就获得做研究工作的经验

在教育中很少有绝对的事，但有一点我绝对肯定:就是最好的中

学教师是那些在数学中曾经有点像是做研究工作经验的人。我不是指的产生新结果意义下的研究工作。前沿的问题需要浩大的准备知识。但是做研究的数学家所用的方法却是很广泛的人们都能接触到的(我的同事和我还相信是高中生也能接受的)。而用很长的时间来搞一个没有明显的途径与解法的难题，在体察我们这一行的本性上，会有深刻的效用。做过这种类型研究工作的教师，比之那些只是上过一组课程的教师，比之那些把数学仅看成一大堆完成了的事实的教师，要少得多。前一类教师一旦开始了教书，就更会对数学更加投入。他们习惯于去寻找那些并非浮在表面上的联系。他们也更可能把自己的课堂组织成大的探索，而不是低水平的演练。有许多很丰富的研究领域，大学生不须大量的工具就能进入。——这种“门槛不高而又上不封顶”的问题能使大学生也能像数学家一样地工作。一个理想的培养教师的计划应该把对数学的主要结果（这本是在上课时得到的）的系统吸收与这类零星得多的探讨（它来自与辅导老师一同与一个研究计划格斗）结合起来。

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