能够做些什么事？

前节所说的问题绝大多数都是很微妙的。只是把大纲中的主题重新排列次序或者在已经很膨胀的大学教学计划中再加一些课题，并不能解决问题。对中学教师在大学中应该学到什么列一个清单也没有用。确实，一个教师应该知道许多“事实”。但是除了学到一些结果以外，我们怎样帮助优秀的中学教师体验到数学是怎样做出来的呢？我们怎样帮助他们提高数学品味呢？我们怎样帮助他们找到一种感觉，能感觉出哪些是曾经导致了重要突破的真正重要的问题呢？我们怎样帮助他们发展出一种本事，知道对他们的中学班级应该强调些什么呢？我们怎样帮助他们对于这门学科在大学以后的部分仍有热情呢？这里是一些处理这些问题的一般原则，而且有助于重新安排优秀的中学教师的大学教育的一部分。

建立与中学数学的联系

要帮助在职教师建立一个在他们所教的主题中“挖掘”数学本质的习惯，方法之一就是在念大学课程时就很明显地建立起这种习惯。例如可以从中学教本中找出几个表面上不同的东西，以此为跳板，进入高等数学，指出它们原来是一回事。我最近就对一群中学在职教师搞过这麽一次，作为教学能力测试的一部分。我从他们可能对中学生搞的活动开始：计算“出租车几何”中的路径（即从街道地图中找出由甲地到乙地的所有可能的路线——译者），计算正整数的有序分划数。这两个问题中都出现了Pascal三角形，然后再去寻找这两个问题在构造上有何相似之处。这样我们引导到讨论递推关系，数学归纳法，二项定理，计算机代数系统，分划，最后是生成函数。到这个（十小时）课程结束时，每个教师都看见了一些新数学，建立了一些新联系。我深信，我们能够这样走下去是由于有一个至关紧要的事实，即我们所讨论的数学时常是围绕着中学数学组织起来的。有成百个类似的问题等待我们去发掘，可以找到成百条从中学数学开始，又终结于中学数学的道路，可以把中学生引导向大学数学。

还有其它方法把大学数学与中学教师所教的数学连接起来的办法。一个很有意思的想法有时称为“覆盖讨论班”。一个优秀的中学教师在上例如经典的线性代数课时，可以每周参加一次这样的讨论班，它是由一位数学家，或由中学教师，或由教育学院的教授设计的，它能覆盖整个这门课程，能表明这门课程的思想中学生也能懂，或者说明这门课能给中学代数或几何的主题以什么启发。这个想法有许多变化。例如Boston大学的 Carole Greenes和他在数学系与教育系的同事们正在为优秀的中学教师设计一种“相伴课程”，把抽象代数，线性代数，数论与中学数学连接起来。

建立与中学数学的联系的另一种方法是说明数学可应用于教学的技巧。例如，Michigan 大学的Hyman Bass开了一门关于课堂活动的设计的课程，从数学与心理学两个方面来考察学生活动的设计。Bass的课程是对学生活动的设计的各个方面的深入考察。但是可以在优秀教师的数学课程中较适度地渗入这方面的成就。例如，很大一部分经典的大学数学都可以用一些“元问题（metaproblems，作者这里是指一些超越具体问题的很广泛的问题。这是作者仿照元数学meta－mathematics一词创造的词，所以下面作者说这种元问题也是数学问题。——译者注）”诱发出来，而当教师为学生发明各种问题时总是会想到这些元问题的。下面是这种元问题的一些例子：

   您能生成毕达哥拉斯数组吗？（怎样做？）

   您能做出顶角为600的整数边三角形吗？（怎样做？）

   如果两个多边形面积相同，您能把一个剪成另一个吗？（怎样做？）

   您能在平面上找到三个格点以构成一个整数边的三角形吗？（怎样做？）

   您能在Z[x]中做出一个具有相异的有理极值与有理零点的三次多项式吗？（怎样做？）

   您能用动态几何软件做出y=sin x 的图像吗？（怎样做？）

    数学对于科学，工程和体育的应用已经成了许多大学课程的支柱了。为什么不把数学对于数学教学的应用也列入大学课程中去呢？ 

寻找组织教学的其它模式

    这对于我是一个难题。我喜欢谈话，一场组织得很好的讲演如同一场好音乐会一样是一种享受。但事实上我的绝大多数学生并不这么看。他们想在课堂上做作业。他们想和同班同学交换看法。他们中许多人觉得听我讲授来学一点东西是一件苦事。另一方面，他们觉得，让我和他们一同做题，倒可以学到许多东西。他们喜欢自己来讲，特别是在得到一些巧妙的东西时是如此。我在大学里人家可不是这样教我的，我当了教师以后花了好几年时间才找到了让学生做数学的有效的方法。如果我们希望优秀的教师教学有效，并且能按他们受教的方式来教学，我们就应该按照数学家是怎样做的，而不是怎样说的，来组织大学里的教学。

    我希望让教师们看到数学结果是怎样做出来的，而不仅是怎样表述数学结果。我们都知道这两件事是不同的。我们关起房门做的和一年半载以后发表在纸面上的东西毫无相同之处。我们在房间里做的东西充满了错误的假设，大量的计算和试验，还有许多特例。我们把需要证明的东西化成许多引理，而其证明则是尚未得到的；把证明放在这些引理和一些细节上，直到肯定它们确实有效才去证明它们；连着几小时的计算，找逻辑联系，直到从沉溺其中，看出老思想中出现了过去没有看到的连接和新的联系。我们暂时不去管我们所做的是否正确，是否漂亮，可否深信，演绎方法用得是否纯粹。我们要的就是线索。

    有些学生从我们在大庭广众中讲的，就能学会我们关起门来干的事情，但是更多的人不行。这不是说他们不能成为真正有数学感觉的教师，而是说我们应该承认事实。我们必须让学生们知道数学究竟搞的是什么；我们必须注意于数学家所用的工作方式，并围绕它，而不是围绕着数学家工作的结果来组织教学。学生需要的是进入解题的内里去看，去体验，而不仅是从那里出来的结果。他们需要的是体验到证明修饰完毕以前那里的全部鬼事。

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