教学用的数学

Al Cuoco

齐民友 编译

chiminyou@yahoo.com.cn

   数学界的许多人都在关注优秀中学数学教师的培养，这反映了对各级数学教育越来越大的兴趣。研究教育的人提出了许多文件证明了在美国和其它国家教师的数学程度有很大的差别。经过了上十年的思考和努力，出现了几套详细明确的建议以改进教师数学培养。在NCTM 的“中学数学的原则和标准”( Principle and Standards for School Mathematics )（以下简称原则和标准）中，列出了一些总的目标：

作为教师需要好几种不同的数学知识——关于整个领域的知

识；关于课程目标和这一段学历重要而处于中心地位的思想的 深刻而灵活的认识；关于如何有效地表述这些思想的知识以及如何估计学生对其理解程度的知识。

    在美国教师就业前学的绝大多数课程都不包括这类知识。

教师们在大学学的数学课程需要改变吗？有些什么要变？本文中，我将集中于中学（主要是高中）教师的培养，因为未来中学教师的绝大多数数学课程是由大学数学系开设的，而且这又是我最熟悉的一段学历。过去三十多年，我的大部分时间都在思考怎样教中学数学，和正在教以及准备教中学数学的人打交道，还有写作教学用的材料。

需要改变什么

建议来自改进教学的努力，所以在我提出自己的建议以前，我将从里到外看一看有些什么需要改变。事实上，中学里需要改变的事绝大多数与教师受到的训练无关。压迫人的工作条件（每天五六节课），学校的文化气氛，缺少资源，报酬过低而且社会不尊重，头重脚轻的行政机构，政府官员对教育问题提出的是政治解决方案，这一些对于数学教学的表现不佳所负的责任，至少和现行教学计划所负的责任一样大。当然，各个班级的情况之差别，正如教师的情况差别一样大，所以把一些事说成是“问题”也难免是夸大其词。然而，我所看见的几乎所有中学教学都有一些共同的令人烦恼的特点，而可以追溯到大学里学的是什么样的数学。我先讲一讲这些，请看一下您教的大学生（本文是作者为大学教授们写的——译者注）已经得到了这一些习惯。

   不问数学为何物。在许多学校里，数学被教成了一代传一代的固定不变的知识体系。他们不把几何定理，三角公式和代数方法这些人造的东西看成研究数学的产物，而看成就是数学本身。人们当时关心的是些什么问题，而为了解决这些问题费了多么大的劲，是从来看不见的；相反地，我们看到的是包装得整整齐齐的一块一块的教材。掌握一个科目就是彻底地掌握有关的基本事实。当您看到学生们为了考试钻研所谓直线的“点斜式”y=mx+b 和 “两点式”的区别时，您就会知道出了什么问题

   平淡无奇综合症。我所看到的许多课真正的特点就是所讲的每个

东西都同样地着重。解释名词，记号和各项规定，和解决问题证明定理看得同样重要。于是余弦的定义和它的加法公式被看成同样层次的数学。而对加法公式又和对其它比较深奥的三角恒等式同样地看重。我曾无数次地在教员休息室听到讨论平行四边形算不算梯形，或者自然数集合的正确记号应该是Z+还是N。

   上课以做题为中心。我看见的许多课的目的似乎就是尽可能快又

尽可能省力地把作业做完。课堂上的常规就是不断地发作业，做作业然后收作业。作业通常有两类：来上四十个几乎同样的计算，再就是给个谜题。这些练习和谜题有时也还是设计到了点子上，但是实际做起来又从做不到点子上。

   先看再跟教学法。这种类型的教学就是教师先详细讲一个题目。然后学生试着模仿教师做一个几乎完全一样的题目。接下来再做一大堆大体相同的题目。周而复始直到下课，再给甚至更多的家庭作业来巩固。而这些题目时常又总是用数字代公式，或者反反复复做同样的程序。

   没有“引理”的教学大纲。中学界有一个根深蒂固的概念，就是学生如果不具备全部预备知识就不让做一个题目。有一次我参加了一个热烈讨论，问题是学生没有学过中位线定理之前能不能让他们去试着证明四边形中点构成平行四边形。我本以为可以让学生在做的过程中感到需要中位线定理，于是把它作为一个引理，先用以后再证明。这种先承认某些事，看能得出什么，以后再讲这些事的作法，绝大多数中学的教学中是绝对不准的。

   什么事都得在大学里学过。许多中学教师对自己实行了这样一条原则：他们“就业以前就得学到以后所需的一切”。他们不把大学所学只看成自己作为一个终身学习者所需的工具，而把大学看成学到今后所需的一切数学的地方。这种想法的影响很深远。例如，绝大多数在职培训只强调教学法，只讲如何执行大纲以及与教书手艺有关的技巧，远过于着重内容。再加之把数学又当成一个完成了的知识体，这就把许多教师置于一个可怕的境地：他们的专业能力仅限于他们在大学里学过的，而不是他们能够领会到的。思想境界如此，学生问的问题就可能使他们很尴尬。

     纵向脱节。绝大多数教师看不见他们在大学里学的数学和他们正在教的数学有什么联系。代数特别是这样。抽象代数被看成与中学代数完全不同的学科。其结果中学代数变成了“前微积分”（指美国高中把三角，和一些代数，一些函数图像知识混合起来，为了准备微积分的学习。——译者注）中关于函数的一部分。另一个结果是，由于不把个别结果看成更广泛的背景的一部分，所以对这些结果只能强调它的低水平的应用，而不是它所形成的数学上重要的联系。举一个例子，看一下De Moivre定理。如果还会讲它，也只会讲到用它来求特别的复数的次数不高的幂或根，而全不讲它与分圆，与正多边形的作图，与代数和三角恒等式的联系。

这些都是一般情况，每一条都有明显的例外。例如我这个年纪的教师绝大多数在大  学里都没有学过计算机技术，但是都靠自己在这一领域中变得十分内行。我还认识许多教师是真正的数学家，他们终身钻研数学，对于帮助学生发展数学思维确有窍门。另一方面，上面讲的又绝非只是水平不高或者缺少教数学资格的教师。我讲的是从好的大学数学本科毕业的数学教师——说不定就是您的学生。我列出这样一个单子，唯一的理由是，这一类严重问题可以追溯到这些数学教师在大学里学的数学课程，只要对数学教师的培训作一些变动就可以改善的。

     我相信一句格言：“您是怎么学的，就会怎么教”，虽然完全知道这是过于简单化了。还有其它问题会影响中学的数学教育。教师所用的材料（教本，考试，软件等等）是一个重要问题。有许多重要理由来自经济而非教育。出版商出的教学用书浩如烟海，对于上述问题真是推波助澜。

上一页  [1] [2] [3] [4] [5] 下一页