三、课题学习中的“数学味”

在案例3 ：展示全面调查和抽样调查的数据分析的这节课里有一个问题，就是怎样处理收集废旧电池，这是一个实际的问题。在我们听了这堂课后，有一个感觉就是：如果不用数学，也能得出相应的结论。就是如果当我们提出来一个问题是实际问题的时候，也就是说课题学习注重了实践性，以及联系实际这一点的时候，有时可能会冲淡应用数学的知识与技能，即有时感觉不像数学课了。课题学习里，学生感兴趣的地方主要是联系实际的内容，而关注这些实际内容过多的时候，就淡化了数学本性，即学科的特征。怎样处理这二者之间的矛盾？突出数学本性与联系实际应该怎么去协调呢？其实，这个问题不仅在课题学习中存在，也包括日常的课堂教学中。由于现在提倡情境或者说提倡学生活动，结果出现了所谓的“大情境小数学”，情境很大，里面数学一点点，或者一活动完以后，大家觉得这节课是美术课，或者是活动课，不像数学课了，根本没有多少数学味了。

怎么去协调实际问题和数学知识学科之间的矛盾呢？课题学习要做得少而精。怎么选到一个特别好的，合适的题材，非常适合让学生做完之后，培养他各方面的能力，又不失数学的味道，同时应该在课题学习的过程中，让学生真正体会到数学的价值和作用。提的是现实问题，最后要把它转化为一个数学的问题。在这个过程中，要运用学过的数学的工具，数学的语言，数学的方法才能实现对问题的解决。如果不用数学的话，这个课题解决的是不彻底、不完善，让学生充分体会到数学的重要作用及其价值。

四、积极参与的热情与实际的数学学习效果

课题学习在实施过程当中，普遍反映的一个现象是，学生的热情非常高涨，积极参与、主动投入到这种新的学习过程当中，比如说收集资料，上网去查一些东西，包括设计调查表等活动。在从事这种活动的过程中，怎样协调学生的实际数学能力和积极参与的热情二者之间的关系呢？

激发学生的学习兴趣，使他们愿意学数学，这是新课程中的情感态度价值观的目标要求。课题学习能够实现这一点。是不是真正让他体会到了其中数学的东西，或者说让他能够运用他所学的知识来解决这个问题了，这就又回到一个问题的设置，问题的提出，包括在解决的过程当中，学生到底怎么去引导才能落到数学上面来。有了热情了，有了兴趣了，最后又落到数学上来。

所以关键还在老师对课题学习的提出，包括整个课题学习的设计。课题学习，不仅来自于日常的生活，基于学生的生活实际，生活经验，到了年级比较高的时候，我们还可以从数学的内部提出问题，让学生们能够就一个数学问题进行探究。

比如说有的教材上就有这样的例子：在学习了四边形或者正方形，特殊四边形之后，提出这样的一个问题：任意给定一个正方形，是不是存在另外一个正方形，它的面积和它的周长，都分别是原来的那个已知正方形的面积和周长的2倍，问学生是怎么做的呢？是不是存在这样的，你是怎么做的？然后你有哪些解决问题的办法？实际上这个问题提的很开放，你怎么做，有什么办法来解决，接着还要问学生，能否将这个问题延伸，即你还能不能提出什么新的问题呢？实际上就是说能不能类比。

比如学生可能想到了，正方形的问题解决了，那么这个问题是不是还可以推广到矩形。比如说任意给定一个矩形，那么是不是存在另外一个矩形，它的周长和面积都是已知的那个矩形的面积和周长的2倍？再开放成平行四边形？等等。

当然在研究这个问题的时候，可能要先已知矩形的长和宽，比如是2和1厘米长，然后才是不是存在一个矩形，它的面积和周长分别是原来矩形面积和周长的2倍呢？让学生做一做，当然他们可以通过一些特例先看一看这个结论是否成立？然后才去判断一般性的结论成不成立？这样一个从特殊到一般的解决问题的过程，实际上，将学生原来所所学的数学知识技能用到解决问题的过程中了。

比如学生发现，结论长和宽是2和1厘米的成立。那么，长和宽的长度发生变化了海成立吗？再试一下，好像也成立，通过这样一个一个的特例，就可以提出来一个一般的结论。如果有一个一般性的结论，那就得给出一个一般性的证明了，而不是单个地举例子试了。在这个过程当中，既可以培养学生的合情推理，也就是类比和归纳能力，也可以培养学生的演绎推理对一般性结论的证明。但是这个问题教材上说还没有完。接着进一步提出问题，说刚才是给你一个已知的矩形，然后去找一个新的矩形，看看它的面积和周长和原来有什么样的关系；现在反过来问，任意给定一个矩形以后，是不是存在另外一个矩形，它的周长和面积，分别是那个矩形的周长和面积的二分之一，刚才是2倍，这又会怎样呢？当然你也可以是三分之一或者类似的提问题。

能不能找得到呢？不好找，也许就找不到了。如果找不到的话，能不能一般的来说明这个结论什么时候成立，什么时候不成立。这样看似一个比较简单的正方形，矩形，都是学生很熟悉的几何图形，其面积和周长也很熟悉。但是要解决这个问题还是需要有很多的思考，包括用代数的方法去证明，也可能用到方程的知识，一种数形结合的思想也渗透在里面。实际上，当学生去操作图形的时候，他通过测量获得量之间的关系可能很容易，但反过来给出一个数量关系式，然后去寻找与它相匹配的图形表示的时候难度可能就增大了。这个问题虽然是数学内部的问题，但是随着问题研究的深入，难度也不断在增强，需运用很多的数学知识，数学方法。而且这样的问题也可以培养学生如何去提出一个问题。即在这个过程中，学生学到的不仅仅是解决问题，还有提出问题的能力。这一点是以往传统教学的薄弱之处。现在通过课题学习的方式来补充这方面能力的培养，这对于我们现在倡导创新与实践能力的培养是最重要的。

也就是说，即使是通过纯数学的课题学习，我们也要培养学生有提出问题的意识，还要学会提出问题的方法，比如类比、逆向思维、特殊化、一般化、由特殊到一般等等，培养学生提出问题的这些基本方法。在提出问题、解决问题以后，我们还要引导学生学会把一个问题不断地引申、扩展为新的问题。所以这也可以看作是一种提出问题的方式了。

传统课堂教学中，我们更多的是关注到了解决问题，而课题学习希望学生首先是能够想一些问题，把所学的知识综合起来，去面对一个新的情境，发现问题、提出问题，然后才是解决问题。在这些方面，课题学习提供了更多的机会和发展空间，让学生发现问题、提出问题，这是我们关注的重点。

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