第一讲（下）怎样实施课题学习的教学

“课题学习”作为新课程中“综合与实践”的主要呈现形式，无论是从教师的教，还是从学生的学看，都是有别于传统的、全新的、极具特色和挑战性的一种新的教学方式。

面对一个新事物，我们缺乏经验可借鉴，只好边实践边探索。为了更好更高质量地开展课题学习，实现这项改革的目的，下面我们结合案例看一看，课题学习在实施过程中遭遇的一些困难与问题。希望大家一起交流与研讨，通过对这些问题的探索，发现克服困难的办法，以及解决问题的策略。

下面我们看一看现在教师们是怎样实施课题学习教学的。

一、常规课堂教学的延伸

1．案例2：折叠问题初探的教学设计

教学目标：

1．知识与技能：在折纸的情境中，建立现实生活问题与几何的联系，培养联想、类比由特殊到一般等数学的思考方式，渗透转化与划归的数学思想，能综合运用角平分线、平行线及与三角形、多边形相关角的一些知识。

2．过程与方法：经历“做”数学（实践）、思考、再合情推理的数学知识形成过程；通过观察——探索——猜想——验证的学习过程，体会科学发现的一般规律。

3．情感、态度、价值观：建立一些活动(折纸)与几何世界的多种联系，激发学习几何的兴趣。感受到运动中蕴涵着静止、变与不变的辩证关系。在折纸中加强学生的发现探究能力和创造力。

教学重点：折叠图形的中几何问题的发现和解决，让学生提问与质疑、尝试与探究、讨论与交流、归纳与总结。促使学生思维开放，在积极探索中形成创新性的思考与看待问题的方式，并藉此获得知识。

教学难点：折叠运动变化中存在的等量关系的发现和如何利用折叠中的不变量解决具体问题。

教学方式：探索式，启发式

教学手段：计算机辅助，几何画版课件，flash课件

一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节课要研究的内容:折纸与几何解题

活动1： 如图1，将一张长方形纸片如图1折叠，其中EF, FH为折痕，试判断∠EFH的度数？说明理由。

图1

学生活动设计：学生将手中的长方形纸片折叠后，直角的结论明显，并积极思考理由。

教师活动设计：此题结论明显，易操作。主要目的是使学生感受折叠过程中表现出重合（全等）的特性，从而造成的折痕为角平分线；从此题中得出本题实质是临补角的角平分线互相垂直，从而体会思想方法：化复杂图形为基本图形；运动中有静止。

（板书）解答：∠EFH＝90^°

理由：

由折叠过程可知: ∠1=∠2, ∠3=∠4

又∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°

所以∠1＋∠3＝90°

即∠EFH＝90^°

小结：折叠过程所呈现出的几何等量是由于重合。

活动2：如果将一张长方形纸片，沿着对角线折起一个角，使C点落在E处，BE与AD相交与点O（如图2）这时我们能观察到什么呢？请说明理由。

图2

学生活动设计：学生将手中的长方形纸片折叠后，会发现许多的结论，并积极思考理由。

教师活动设计：此题易操作，结论颇多，是一个开放性问题。主要目的是使学生进一步体会化复杂图形为基本图形的思想方法和运动中有静止的观念。积极搜索自己大脑中的知识库，给出合理的理由。

（板书）结论： ∠E=∠C, ∠EDB=∠BDC, ∠EBD=∠CBD (动中有静)

∠ODB=∠CBD=∠EDB,∠AOB=∠EOD,∠BDC=∠ABD=∠EDB, ∠OBD=∠ODB, ∠ABO=∠EDO（各类基本图形）

AB=CD=ED, AD=BC=BE，OA=OE，OB=OD（可用等积法说明OA=OE）

S_△ABD=S_△BDC= S_△BED     S_△ABO= S_△EOD

AE//BD

注：此时学生还没有学三角形全等和等腰三角形有关知识

探究活动：把三角形纸片折起一角，角的顶点会落在什么位置呢？新形成的∠1、∠2和∠A之间有什么数量关系?

学生活动设计：学生将手中的三角形纸片折叠后，会发现有三种可能。

教师活动设计：此题是一个一题多变、一题多解的比较综合的问题，有一定难度。主要目的是使学生加深体会化复杂图形为基本图形的思想方法和运动中有静止的观念。引导学生从特殊到一般进行探究。

探究1：(1)如图3（1），把三角形ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的边BD上时，则∠A与∠2之间有什么数量关系，请你试着找一找这个规律。并说明你的理由。

图3（1）

学生活动设计：学生将手中的三角形纸片折叠后，在本上画出图形，给出证明。

教师活动设计：听学生给出解答，给予肯定，强调基本图形（三角形，四边形）

解答：因为∠2为△A^ۢ EA的外角，所以 2∠A＝∠2。

注：学生也可能利用四边形BDEC得出。

探究2：如图3（2），把三角形ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内部时，则∠A与∠1，∠2之间有什么数量关系，请你试着找一找这个规律。并说明你的理由。

图 3（2）

学生活动设计：学生将手中的三角形纸片折叠后，在本上画出图形，积极思考，给出证明。

教师活动设计：给学生足够的时间思考，教师可巡视，然后请学生发表见解，师倾听同时板书学生思路并再次强调基本图形（三角形、四边形）和折叠中的不变量。

结论：2∠A＝∠2＋∠1

思路1：利用四边形ADA’E和三角形ADE

思路2：利用四边形BCED和三角形ABC

思路3：利用临补角∠2和∠AEA’, ∠1和∠ADA’以及三角形ABC

思路4：联结AA’利用三角形外角性质（此法最简洁，思路转化向探究1情况）

注：本题还有其他解法，利用作平行线等，学生若没想到就避开。

探究3：如图3（3），把三角形ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED外部时，则∠A与∠1，∠2之间有什么数量关系，请你试着找一找这个规律。并说明你的理由。

图3（3）

结论：2∠A＝∠2－∠1

引导学生：思路转化向探究1、2。联结AA’利用三角形外角性质情况，可解。

教师追问：∠A与∠1、∠2之间的数量关系能统一到一种形式吗？（知识升华）

引导：利用内、外具有相反意义若规定角的正负，就可以统一到

2∠A＝∠2＋∠1（探究1中∠1＝0，探究2中∠1>0,探究3中∠1<0）

师生小结：

思想方法：

1．复杂的图形转化为基本图形

2．从运动变化中寻找不变性的思想

3．从折叠与展开过程中体会到逆向思维

课后练习：

（1）如果将一张长方形纸片按图4折叠，如果点C落在AD上呢？你能观察到什么呢？请说明理由。

 图4

（2）如图5在一张纸上画一条直线和一个点，你能否利用折叠的方法，经过一点作已知直线的平行线？谈谈你的理由。

图5

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