数学中的计算产生于人类社会的生产和实践活动，有着悠久的历史。古人最初用石块、绳结记事，后来又用手指记数。计算就是在记数的基础上产生的。随着数学的发展知识的积累，计算水平不断提高。例如，古巴比伦泥板上记载了当时他们已掌握了许多计算方法，具有较高的计算水平，特别是他们编制了各种数表来帮助计算。在这些泥板上发现了乘法表、倒数表、平方和立方表、平方根表和立方根表，甚至还有指数表。古代巴比伦有高度计算技巧的计算家，其计算程序就是借助乘法表、倒数表、平方表、立方表等数表来实现的。从早期古埃及数学纸草文献可以看出，古埃及人的数学知识包括记数法、算术、代数和几何四个方面。古埃及人通过学习掌握的数学知识，已经学会用数学来管理国家和宗教事物，确定付给劳役者的报酬，求谷仓的容积和田地的面积，计算建造房屋所需要的砖块数等等，还会计算酿造一定量酒所需的谷物数量。埃及人只是将数学作为一种计算的工具，把形式上没有联系的简单法则，用于解决人们在日常生活中所遇到的问题，却没有把零散的数学知识系统化，使之成为一门独立学科。
从历史上看，中国传统数学是以计算为中心的数学。在我国古代，数学称为“算术”。也就是说，古代的中国“算术”，是和英语中mathematics相对应，而不是对应于arithmetic。它包括了今天初等数学中的算术、代数、几何和三角等多方面的内容。算术的名称，反映出中国古代数学以计算为中心的特点。“算”字有一个同音字“筭”，两者在古代含义有些区别。“筭”指中国古代的计算工具算筹，而“算”则是用算筹摆成的数。从现存资料看，“算术”一词最早见于公元前1世纪编成的《周髀算经》卷上。算术，就是用以处理实际问题的计算方法，这反映出中国古代数学以研究算法作为的实际情况。
中国的先民从生活实践中创造了一种十分重要的计算工具——算筹及用算筹计算的方法。算筹即用于计算的小竹棍。珠算产生以前，我们的祖先用算筹来计算。算筹又称筹、策、算子等。算筹起源于何时，已难征考。最迟在春秋末年，算筹的使用己相当普遍。算筹常用竹制成，也有用木、骨或石做的，用从1到9的九个筹码外加空位零通过纵、横两种表示法可表示任何一个自然数。用算筹计算严格遵循十进位置值制记数法，古巴比伦使用60进位制，古埃及人使用象形文字，其数字以十进制表示，但并非位置值制，这就使得数的表示与各种运算都十分烦琐。相比这些记数法，中国是世界上最优越的记数制度，多数实用的度量单位也是十进制，因此很容易产生十进分数，即小数的概念。中国最晚在春秋末年人们已经掌握了完备的十进位置值制记数法，普通使用了算筹这种先进的计算工具。人们已谙熟九九乘法表、整数四则运算，并使用了分数。这种算筹是当时世界上最灵巧的计算工具，简便、灵活，自算筹产生以来，一直是中国最主要的计算工具，直到元明时代才逐渐被珠算所代替，并一直沿用至今。许多人认为算盘是最早的数字计算机，而珠算口诀则是最早的体系化的算法。珠算和算盘相比于外国使用计数板、计算块及小棒等认识数和计算数能够更好地起到从具体到抽象的中介作用。利用算盘进行计算时，不仅要用手指不断的拨动算珠，还要用眼睛看数，同时要不停的动脑筋。这是非常典型的手脑并用，对提高智力，开发右脑是一种好方法。学珠算练手指是开发智力的有效途径。由于用算盘计算有这么多的优点，所以这个在中国已使用了二千多年的计算工具，现在在世界各地仍得到广泛应用。在受中国文化影响比较深的日本、韩国、东南亚，珠算技术的传授及普及教育一直受到重视。不仅如此，作为中国文化宝库中一件珍品──珠算和算盘，既是一种优越的计算工具，又是一种好的教具和学具。它不仅具有良好的计算性能，更为重要的是它具有独特的教育、教学功能，而这恰恰又是任何别的计算工具都无法代替的。
在计算的算法方面，中国最重要的数学经典——《九章算术》有世界上最早系统分数运算法则，包括分数的加、减、乘、除、比较分数的大小和通分、约分算法等。古埃及人在整数字符的上面添加一椭圆标记来表示其倒数，从而发展起一套用单分数来合成普通分数的算法。这种处理貌似华美，但其刻板的形式妨碍了一般分数理论的建立。《九章算术》中还有各种比例问题的计算和“盈不足”算法。 “盈不足”算法需要给出两次假设，是一项创造，中世纪欧洲称它为“双设法”，有人认为它是由中国经中世纪阿拉伯国家传去的。在中世纪阿拉伯国家的数学著作中，这种算法常被称为“契丹算法”，说明是由中国传人的。在欧洲早期的著作中，也有人沿用“契丹算法”这一名称。《九章算术》中开方算法程序不仅表现了中国筹算所能达到的高超的算技，而且充分体现了中国数学思想方法的构造性和算法机械化特色。在实际计算中，中国又是世界上最早承认“负数”并正确使用“负数”的国家。在解“方程”进行消元过程中，要进行两行间的对减相消，不可避免地会出现“以大减小”不够减的情形，要保证这种机械化的算法畅通无阻，就必须引进负数和建立正负数的运算法则。魏晋时期数学家刘徽用红、黑两种颜色的算筹区别正负，否则当用一种颜色的算筹时可以在摆法上以“正”、“邪”（斜）区别正负数，为世界独有。这两种方法，对后来的数学都有深远的影响。
数学计算速度的提高不仅得益于优越的计算工具，而且得益于数学符号体系的建立。数学符号体系出现在15、16世纪，通行于18世纪。在此之前，世界上各国的数学家们都意识到数学要实现一种新的简化语言表述方法。早在公元前3世纪的丢番图就试图用简单的符号书写方程，到了16世纪，科学与数学自身的发展有了采用数学符号的客观需要，数学符号体系才应运而生，其中为之做出重大贡献的是法国著名数学家韦达，他被誉为“数学符号之父”。我国没有产生数学符号的体系，直到19世纪末，才开始采用西方的近现代数学符号。
16世纪末至17世纪初指数、对数的发明标志着计算方法的革命。随着人类活动领域的不断扩大，在天文学、航海和各种工程技术学科等方面，常常遇到多位数字的乘、除、乘方和开方运算等十分复杂的数值计算，因此，西方的数学家们为了寻求比较简明的计算方法，在长期的探索中，逐渐形成了这样一种思考路线，即设法把乘除运算转化成加减运算，这便是对数思想的最初萌芽。苏格兰的男爵约翰·纳皮尔是对数的创始人。由于纳皮尔对数实用方便，使计算技术得到大大地简化，开普勒发现行星运动的三大定律，曾得益于纳皮尔的对数表。因此，它的发明不到一个世纪，几乎传遍了全世界，成为不可缺少的计算工具。同时，计算尺的出现，开创了模拟计算的先河。从冈特开始，人们发明了多种类型的计算尺。直到20世纪中叶，计算尺才逐渐被袖珍计算器所取代。
从17世纪到19世纪长达两百多年的时间里，一批杰出的科学家相继进行了机械式计算机的研制，其中的代表人物有帕斯卡、莱布尼茨和巴贝奇。 自1946年，近代电子计算机发明问世，开始了计算机飞速发展的时代。计算机在科学计算和工程设计中的应用,不仅减轻了大量繁琐的计算工作量,更重要的是，一些以往无法解决、无法及时解决或无法精确解决的问题得到了圆满的解决。随着计算机技术的快速发展，计算机的应用越来越普及，计算机的应用研究和实践也日益活跃。 比如，定理的机器证明，即是使用计算机证明定理的成立，即把人证明定理的过程，通过一套符号体系加以形式化，变成一系列在计算机上自动实现的符号计算过程。其实质是把具有智能特点的推理演绎过程机械化。定理的机器证明现已成为人类智能的主要研究课题之一。
(作者简介：傅海伦，博士，现山东师范大学数学科学学院教授，数学课程与教学论专业博士生导师，数学与应用数学系主任。) |