很多人可能都熟悉这样一个问题（三个箱子的问题）：

    有三个一样的大箱子，其中一个箱子里面有一辆高级轿车，另外的两个箱子里面是一些铅笔、糖果之类的东西。你当然不知道哪个箱子里面放了哪些东西。

    你首先选择了一个箱子。

    这时主持人（知道高级轿车在哪一个箱子中）从另外两个箱子中选择了一个，并且打开了箱子。可以使你松一口气的是，这只箱子里没有高级轿车。

    这时你被告知，如果你改变主意，选择剩下的那只箱子还来得及。你改变选择，还是不改？

    可能你的直觉告诉你，高级轿车在尚未打开的两个箱子中的一个，选择哪一个是无所谓的，改变选择并无意义。

    其实，你应当改变选择，改变的结果会使你赢得汽车的可能性加大一倍！

    让我们这样考虑：

当你第一次选择时，你能赢得轿车的概率不多不少正好是1/3，也就是说轿车在其它两个箱子中的一个的概率是2/3。如果这两个箱子中一只被打开，轿车在这两个箱子中的一个的概率仍然是2/3，因此轿车在那只尚未打开的箱子中的概率是2/3。

你可能不太服气，没关系，让我们看下面的 “三张卡片”的问题：

    有三张卡片，其中一张两面都是红的、一张两面都是白的，另外的一张一面是红的一面是白的。从中随机地抽取一张，并且随机地放下，这时红色朝上。问这张卡片的背面也是红色（即双面皆红）的概率是多少？

这可太容易回答1/2了！因为你是这样想的：既然这张卡片是红色朝上，那么这张卡片一定不会是双面皆白的那张，也就是说这张卡片的不是双面皆红的那张就是一面红一面白的那张。

其实，这个问题和上面那两个问题的结构还是一样的，那张双面皆白的卡片相当于那个被打开的箱子。

这次我们来计算一下，根据条件概率的贝叶斯（Bayes）定理

因此，这张卡片的背面也是红色的概率是2/3。

计算是确定无误的，但是能得到这样结果的人并不多。在一次对5、7、9、11年级的学生（美国）的调查中，只有9 人得到了正确的结果，当然他们不是通过计算得到的。具体情况如下：

这9人是如何得到正确结果的？迪兰是9 个答对了的学生之一，下面我们看一下他和一位教学研究者的对话，从中可以看他是怎么想的。

迪兰：事情是这样的（迪兰在纸上写下了R1R2，R2R1，RW，意思是红1红2，红2红1，红白），如果抽到的是双面红色的卡片，那么背面一定的红的。一共有两种可能性，因此3次中有2次都会是红色的。

研究者：有人给出了另外的解释，也就是既然他看到了红色朝上，那么这张卡片不是双面红的就是一面红一面白的，因此背面是红色的可能性是一半一半。你怎样给他解释呢？

迪兰：你不能把它想成是双面红的，应该想成是R1和R2，你不知道那个面是哪一个红色？可以是任何一个。双面红色的卡片有两个不同的红色面。

一个叫奥托的11年级的学生给出了另外一种解释：

奥托：你选到了一个红面，还有两个其他的卡片。但是这张卡片很可能是双面红色的卡片。因为在四个面中，有三个都是红的。在你可以选择的三个面中，其中两个都是红色的。

两个学生的谈话比较直观地对结果2/3进行了解释。

事实上，你还可以用试验的方法进行验证。按题目中的要求做三张卡片，并按题目中所说抽出一张红面朝上的卡片（需要有人配合），看该卡片的背面的颜色，统计出背面是红色或白色的频数，然后你就可以看到它们的可能性各是 的结果是不合理的。

附录

Bayes定理：

参考文献

Laurie H. Rubel, Good Things Always Come in Threes: Three Cards, Three Prisoners, and Three Doors, Mathematics Teacher, Februay 2006.