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张国栋推荐:《初中生对几何证明的认识》
作者:黄兴丰,…    文章来源:《数学教育学报》2007、4    点击数:    更新时间:4/3/2008

 老师推荐理由:直观实验和几何证明是几何教学中常用的两种方法。对于已学完初中平面几何的学生,有多少人能达到正确区分直观实验和几何证明的程度?他们会把直观实验的方法当作是数学证明吗?他们能否认识到,获得了证明的结论一定具备一般性?

作者通过测试和访谈的方法获得学生对自己思想的详细描述并得出结论。

初中生对几何证明的认识

1 问题提出

什么是数学证明,迄今为止可能尚无精确的定义,但数学证明必须立足于一系列公理,从概念定义、已有定理出发,采用逻辑推理的方式,确认新的结论,这是数学界公认的.数学证明有它的特殊性,和其它领域里的论证方式存在很大的区别.验证特例,依据直觉,都不能算是数学证明.证明数学结论的意图,就是建立数学的确定性[1].但是,数学中的证明是否被认可,不仅和证明的逻辑结构有关,而且也和采用的证明方法有关[2].在数学教育研究的文献中,有人把证明看成令“敌人”信服的论证[3],也有人视证明为令数学家承认的论证[4],还有人将证明当作让怀疑者认可的论证[5].在数学教育中还认为,证明会受到社会因素的影响,Balacheff指出:“我们说,证明就是在一个特定的时间,被一个特殊群体接受的解释.”[6]

在实际的数学学习中,许多学生尽管可以完成一定难度的数学证明,但他们对数学证明的认识,可能还是存在着诸多问题和困难,例如,他们常常会认为,非演绎推理的方法也是数学证明.这对于认识数学的理性思想是不利的.Harel Sowder 把学生对证明的认识进行了如下分类:(1)只有按照传统的格式书写的才算是证明;(2)数学家和教师给出的论证就是证明;(3)验证一个或几个例子(不完全归纳),就是证明;(4)借助图形,通过观察获得结论的方法就是证明[7].最近的研究表明,学生对证明的误解主要受到了其它科学或者日常经验的影响才产生的[8~9]

在初中阶段,学生的推理论证能力主要是在几何学习中发展起来的.几何的长处是内容比较直观.学生可以采用观察、测量等直观实验手段,了解几何图形,发现其中的规律.在教学过程中,教师有时也会根据学生的实际认知水平,利用若干形象的手段,帮助他们认识一些结论,完成证明.但是从本质上讲,数学证明的演绎推理是不能依赖直观和实验的.所以初中几何中的证明的教学现实有其特殊性,既要借助图形直观,又必须在一定条件下摆脱直观而利用和形成抽象的概念和方法.那么,对于已经学完了初中平面几何的学生,他们有多少人能达到正确区分直观实验和几何证明的程度?他们会把直观实验的方法也当作是数学证明吗?他们能否认识到,获得了数学证明的结论一定具备一般性?其中的原因是什么?本文就这些问题,对初三学生展开研究和讨论

 

2 研究方法

2.1 研究工具

本研究采用质的研究方法,利用测试和访谈的途径来进行,以获得学生对自己思想的详细描述.问卷由 3 个测试题构成。

1 个问题研究学生对观察法的认识,后两个问题研究学生对几何教学中出现的测量法的认识,以及证明的概括性、演绎性含意.利用这样简单的几何问题做调查,目的是不让学生受阻于数学证明过程,能够比较从容地清楚表达自己对证明本身的见解.

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