一个重要的几何表示是线段模型 (教学上可以用折纸条的方式得到折痕).

这是一个半抽象的模型。首先,它的单位是抽象的“1”。虽与圆形、三角形相比有点抽象, 但是仍然是几何直观, 可以帮助学生感知分数的含义。其次, 这是数轴的雏形, 早在学习自然数的时候, 就用过这样的表示方法。再次, 通过操作可以看到分数是“填”在自然数之间的“新”数, 位置在两个相邻的自然数之间,并和分数大小、扩分、约分、通分以及运算都可以呼应。线段模型是“圆模型”和其他平面模型的“再抽象”,可以充当分数的“份数模型”向“除法的商”定义过渡的几何载体。

我国的分数教学, 擅长分数的计算, 不太注意在数轴上直观地加以表示。其实, 这是数学素养的重要组成部分。应该让小学生知道, 正的真分数是密密麻麻地分布在(0, 1)区间上的。至少, 在(0, 1) 区间内画出所有的以 10 为分母的真分数, 加强分数和数直线之间的联系, 乃是改进分数教学的一个方面。

4.分数学习让学生面对“无限”的大门。

由于循环小数的出现, 分数和小数的关系成了小学生学习的又一障碍。

小数的基础是十进制, 即采取10 等分而获得的分数。从理论上说, 应该是分数更为基础。但是, 小数更容易学, 生活中学生对小数的经验远比分数要多, 货币中的元、角、分, 长度度量中的米、分米、厘米, 实际使用的都是小数。因此, 就生活经验来说, 小数似乎更基本, 应该先学。

这就产生一个问题: 只学特殊的10等分的分数——有限小数, 不学或少学一般的分数行不行? 回答是“不行”。因为有限小数只能表示一部分分数, 大量分数的小数表示却是循环小数。特别是, 无限小数不能直接进行加减乘除运算。所以分数的加减乘除化成无限小数的加减乘除是不行的。至于通过有限小数的运算和极限理论来教学, 那不是小学数学的内容。

无限, 只是人们的一种想象, 只有数学, 才真正面对无限。可以说,分数学习已经抵达了 “无限”的大门。小学阶段, 只能在大门之外望一望, 还没有办法走进去。如果问:

0.99999……=1 吗?我们只能说无限接近, 但永远达不到。

不过, 分数的小数表示, 可以用来整体地比较大小。众所周知, 任取两个分数, 要比较他们的大小, 只要通分之后, 比较它们分子的大小即可。这是局部的关于两个数的比较。另一方面, 从整体上考察, 全体正分数是可以像自然数那样从小到大排列起来的。如果一律化成有限或无限小数, 然后按照整数位和小数位的位数, 就可以依字典式的顺序区分大小。把它们一一标在数射线上,可以直观地想象为: 所有真分数由小到大密密麻麻地排列在(0, 1) 上,左边为小, 右边为大, 没有最小的真分数, 也没有最大的真分数, 两个正分数之间没有空当。这是分数的半直观几何模型, 数轴的雏形。

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