2.分数是一个特殊的“大家庭”。

分数运算之难, 在于通分。小学生不知道为什么要扩分、通分、约分。明明是同一个分数, 老是化来化去, 像变戏法似的, 难以捉摸。( 注:扩分是指将 1/2 写成 4/2 、 8/4 ……这一说法在香港通行, 大陆不大使用。其实, 它和约分运算一样, 彼此对立统一, 有其独立使用的价值)

其实, 这里用到一个很深刻的思想: 等价类。一个分数, 和它的所有扩分和约分相等:

这些数构成一个由无限多个分数组成的等价类, 其中的每两个分数彼此相等, 但是形式却不同。这是以前学习自然数时从未碰到过的数学现象。

依照通常的思考, 既然相等, 选一个代表就行了, 要那么多等价的分数做什么?确实, 作为分数的等价类, 一个特殊的代表是有的, 就是最简分数。但是, 最简分数作为代表有时候并不方便, 需要在等价类中找出适当的分数表示才能参与运算。例如 1/2 + 1/3 , 两个分数都是最简分数, 却不能直接相加。还得找出以两个分母的最小公倍数为分母的那些特殊表示, 写成 3/6 + 2/6, 才能相加。这就是说, 分数等价类中的每一个表示, 各有各的用处, 都有其特定的价值。分数的这个特点, 既有学习难度, 又有思想高度, 是一个重要的数学思想方法。

这样一来, 我们可以这样比喻:每一个分数都是一个大家庭。一个家庭有许多人格上平等的成员, 可以有一个户主(最简分数)。但是, 每个家庭成员各有各的作用: 爸爸耕田, 妈妈织布, 爷爷养花, 奶奶管家,小明读书……在通分的时候, 最简分数和每一个扩分, 都会派上用场。用这样的比喻来认识作为等价类的“分数”, 是否比较直白易懂呢?

还可以有另外的比喻。一个人可以有不同的装束: 校服、运动服、唐装、西装、夹克衫、牛仔服等。尽管装束多种多样, 却都是同一个人。两个分数通分, 相当于两个人都穿一样的服装。在教室里上课, 大家都穿校服; 在运动会比赛时, 大家都穿运动服; 文艺演出时, 大家又要换成演出服……

扩分、约分、通分的学术形态是所谓的“分数基本性质”。这个基本性质是分数知识的学术形态, 较难把握。上述的比喻尽管不完全准确,有点蹩脚, 却可以让人觉得数学的原始思想也很平常, 呈现出一种使人容易理解的教育形态。

3.正分数密密麻麻地分布在数射线上。

“切大饼”是分数的直观表示,但并非最好的表示。“切大饼”是学习分数过程的一根“拐棍”, 能够独立行走了, 应该及时丢掉, 否则会影响进一步的学习。

让我们先看一个教学调查。问题 是 : “从 右 边 的图形中, 你看到了什么分数? ”全班学生异口同声地说: “1/4! ”“还有别的分数吗? ”大家都摇摇头.

把这一图形看成 1/4唯一的几何解释, 是一种不当的思维定势。实际上, 除了以整个圆作为单位之外,还可以看到一块黑、三块白, 即以三块白为单位, 看到 1/3。甚至还可以看到 1/2 和 1/1 。我们不是强调分数的单位吗? 为什么单位不能多样化地选择呢?

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