最后一个问题是关于传统性与时代性. 数学教学的知识结构体系不能一成不变,应该适应时代的需要,随着时代的变化而变化、调整. 但另一方面这种变化又不能频繁进行, 需要保持一定的稳定性,没有一定的稳定性就可能大起大落、大摇大摆. 我们不能经常调整教材. 当前的教改可以说是一次比较全面的知识结构的调整, 要把握机会,但在做的过程中要注意平衡. 比如义务教育阶段,传统几何的内容应占多大的份量,归纳推理和演绎推理的教学怎样保持平衡. 欧几里得几何并不是说本身有多重要,它的重要性是在于作为训练人的演绎思维的体操. 过去对算法重视不够,随着计算机的发展,这方面要求越来越高, 我们应当增加这方面的内容.但扬此未必抑彼. 不能认为两千年前的东西就一定陈旧和没有时代性. 学生需要有一定的演绎推理训练,在这方面欧氏几何迄今仍然是无可替代的载体,过分减弱达不到这样的目标. 另一方面我又觉得要中学生体会公理化思想的要求高了. 从一些定义和不证自明的公理出发通过一定的逻辑法则推出新的结论即定理, 这是欧氏几何的基本思想. 后来发现欧氏几何的公理系统存在一些问题,比如个别公理其实是多余的, 即可以是别的公理的推论,那就不应该叫公理, 公理是不需要也不能证明的.长期以来人们还怀疑平行公理是不是公理,直到 19世纪才弄清平行公理确实不能从别的公理推证,它是独立的,由此引发了非欧几何的发现.19 世纪末,德国数学家希尔伯特首次明确提出了对公理系统的逻辑要求,就是说公理系统中的公理不能是任意的集合,它们要满足一定的条件,即无矛盾性(不能相互矛盾) ; 独立性(不能有多余的公理) , 完备性(不能缺少公理) , 这就是现代公理化方法. 要讲公理化就要讲清这些,但目前即使大学数学本科一般也不讲. 其实对中学生最主要的是掌握证明的思想和方法. 现行初中数学课标不称公理而叫基本事实,我觉得叫基本事实可能更好, 因为有些实际上已不是公理,只不过为了降低教学难度和减轻学生负担,把它看作是无需证明的事实. 应该允许这样的改革,但基本事实的选择应该有讲究, 太多了会造成误导甚至混乱. 除了几何,在算术和代数中,符号意识和计算能力的培养, 这中间也有平衡的问题. 我听到不少反映说,现在学生的计算能力有所减弱. 当然我手头没有具体的数据,但我相信这些老师说的是负责任的真话, 我们需要注意分析原因,加强学生计算能力的培养. 再有, 如前面所说,概率统计内容进入基础教育是时代的需要,以前没有,刚加进来时很有些阻力,但后来慢慢进来了,站稳脚跟了. 现在的问题我觉得是另一种倾向,存在重复和偏多偏难的情况. 小学讲一遍平均数、中位数、众数,初中又来一遍, 到了高中又来一遍. 这也不符合螺旋上升的原则, 是旋而不升了. 另外基础教育阶段对随机性数学要求到什么程度 ?小学要不要讲概率 ?高中统计方法究竟讲多少为宜 ?这些都是值得斟酌的问题. 说到高中课改,课标规定的必修内容及选修系列一、二,大部分是传统的素材,当然也加入了算法等新内容. 选修系列三、四共十六个专题,时代性强,可以适合不同学生的不同兴趣和需要,对于全面加强素质教育是有积极意义的.但实施遇到很大的困难,十六个专题如果全面拉开战线我看够呛. 讲欧拉公式可以, 但要中学生比较系统的了解闭曲面分类等拓扑学概念就有难度. 还有,尺规三等分角的不可能,证明需要扩域的知识,也并不适合中学生学习. 诸如此类, 所以我坚持主张有些专题应该暂缓. 这是从客观的认知规律出发,从我国师资队伍的现实和千万学生的长远发展出发,是为了使正在进行的数学课程改革能稳步地向前推进. 当然我也不赞成只局限选修其中少数传统的内容(如证明,不等式,坐标系等) ,那样就失去了选修课设置的意义. 这里确实有个度的问题.

总之,现在是一个数学教学知识与体系调整变革的时期,我们一定要把握有度. 把握事物的度,本身是一种理念,更是一种艺术. 在方向确定以后,对事物的成功往往起关键影响. 相信通过大家的努力探索和实践,一定能创造出好的经验,为基础数学教育改革作出重要贡献,建立有中国特色的和谐有度的现代化数学教育体系. (本文是4 月7、8 日研讨会报告,根据录音整理,经本人核对)

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