第二是知识传授与能力培养. 关于这二者的关系历史上长期存在争论. 实际上二者应该是对立的统一. 早在 19 世纪美国教育家杜威就主张:数学应该使学生既获得生活实用的知识,又发展他们的主动性,培养应付生活中实际问题的能力,提倡“从做中学”,试图把知识和能力统一建立在学生个人直接经验的基础上. 杜威甚至提出“教育即生活,学校即社会”,把教育的重心从教科书和教师转移到儿童(也就是学生) . 杜威作了很多试验,还在中国作过试验. 杜威的理论是有道理的, 实验也是有成效的,但后来做过了头,影响逐渐消退. 就是说这个问题过去就有人提过, 他们做的有成功也有失败, 我们应该认真总结,避免走本来可以避免的弯路.

20 世纪以来世界进入了一个新的时代 ,知识成指数增长. 就数学而言一年发表好几万篇文章, 这么庞大的知识量,使得知识传授与能力培养之间的矛盾更加突出, 强调知识与能力的统一更显重要.我觉得知识是能力培养的载体,不学习知识是不可能发展能力的. 反之, 能力的发展又可使得学生的知识学习加快加深, 并能灵活运用. 单纯的知识传授和脱离知识传授的能力训练都不可能使学生获得全面的发展. 成功的教学应该是使两者相互促进. 好的教科书也应该是把这两者有机地结合起来,而不是使之割裂甚至对立, 其中关键的一点是选择什么样的知识载体.

下一个问题是结果与过程. 从古到今大凡成功的教育都是启发式的、过程性的教育,不会是单纯的知识灌输. 我上中学是在江苏省常州高级中学,记得任课老师大都总是想方设法让你懂,想方设法启发你学习,有的至今仍令人记忆犹新. 所以我们也不能将以往的教育都看成是灌输式教育一棍子打死. 当然以往的教学确实存在偏重知识结果的传授,对(获得知识的) 过程关注不够的现象,这正是需要我们在当前教改中大力改进的. 在教学过程中提倡学生自主探究、增强学生的探索和交流活动,无疑十分必要. 国外也比较注意这方面的改进, 我国近几年在教材和教学活动中也有不少好的做法,值得肯定和进一步发扬. 但在这过程中一定要防止模式化,防止形式化, 以及防止超出中学生的认知能力.

模式化就是凡授知识必定要配过程. 实际上把每一个知识产生过程都讲给学生是不可能的,并且也是不必要的. 教育的基本功能之一,在我看来就是要把人类长期积累的知识有选择地传授给新的一代,使他们不必事事重复前人的发现过程,同时在此过程中培养、发展创造能力, 以便今后能发现新的真理,或者说创造新的知识. 因此在这里问题就在于选择什么样的案例来开展过程教学. 好的、恰当的案例非常重要, 它们应当是精心选择、能够作为载体展示发现过程的典型素材. 在某种程度上可以说,案例选择是一套教材或一个教学过程能否成功的关键. 我觉得这需要教学第一线的同志的积极探索、积累,创建丰富实用、切合数学实质的案例库. 这方面教师不能单纯依赖教材,教材不能单纯依赖课标,教材编写者和教师都应该有自己广阔的空间.

形式化就是为活动而活动. 活动是为了掌握知识,提高能力,但如果单纯把活动本身作为追求目标或考核指标,就会产生问题. 我听过一些公开活动课,有的生动活跃, 同时切中数学主题, 令人赞赏. 但无庸讳言,也有一部分活动课,虽然也是热热闹闹,但学生却落不下什么. 比如一堂课主题是一元一次方程,但让学生参与活动的例子有一多半与一元一次方程不相干,这样的活动课我认为就不能算成功.

活动与探究不能局限于教材和课堂,因为空间和时间是有限的,应该注意利用各种可以利用的资源.2005 年底我访问印度时,曾被邀请到幼儿园、小学、中学参观、听课. 到了一所中学,校长不是让我们给学生做讲演, 而是安排我们回答学生的问题,我记得他们问的问题如概率论有什么发展前景、学习对数和对数表有什么用、猜想和证明的关系等等. 这些问题说明学生在思考, 印度学校的教师很注意抓机会搞这类活动,他们称之为“interaction”,就是我们说的互动. 说明在组织数学活动教学中教师起着主导的作用.

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