4 　还缺少什么

那么我们还缺少什么呢 ?缺少的是根据情况预测结果的能力和根据结果探究成因的能力. 这两个能力很重要,是创新的基础. 前者有利于创造新产品,形成新工艺;后者有利于发现新理论.

拉普拉斯说,发现真理的主要工具是归纳和类比. 庞加莱说,数学推理的性质是什么 ?真是我们通常所认为的演绎吗 ?归纳能力是能够熟练使用归纳推理的能力. 现代归纳推理来源于培根,他在《新工具论》中谈到,就“帮助人们寻求真理”而言,三段论的“坏作用多于好作用”. 黑格尔也有类似的说法.数学在本质上研究的是关系(各种关系) ,最难研究的是因果关系. 数学这些年来最核心的研究也是因果关系,因果关系几乎无法用式子表达,但可以研究其内涵. 休谟利用归纳和类比思想研究了因果关系,虽没完全搞清楚因果关系, 但是对因果关系研究做出了很大的贡献,而这已经成为现代科学的动力. 穆尔在他的著作《论自由》中认真地总结了归纳推理. 归纳推理十分庞杂, 就方法而言, 包括枚举法、归纳法、类比法、统计推断、因果分析,以及观察实验、比较分类、综合分析. 与演绎推理相反,归纳推理是一种从特殊到一般的推理. 穆尔说过“,这句话不是很确实的,归纳推理是一种从特殊到范围更广的推理.”归纳推理主要包括两种方法,归纳法和类比法. 借助归纳推理可以帮助学生培养预测结果和探究的能力,这是演绎推理不可比拟的, 因此从方法、思维角度来说,过去双基教育缺少了对归纳能力的培养,对学生未来走向社会不利, 对培养创新人才不利.

5 　如何培养归纳能力

现在的教育本质上是知识的教育,考察的是该教的内容是否教了,教了的知识学生是否掌握了.这样的教育是不够的. 我们必须知道教育应该是以人为本的教育,要考虑学生的全面发展. 不仅考虑学生知识的掌握,还要考虑身心的发展, 要考虑能力、思维的教育. 所以新课标提出的三维目标很重要,除了知识能力的考察外,还要考察过程的目标、情感态度的目标.

演绎推理表现为一种知识,归纳推理则表现为一种智慧. 知识和智慧有什么不同呢 ?我在一篇文章① 中谈到,“知识在本质上是一种结果,可能是经验的结果,也可能是思考的结果.”单纯追求知识的教育是一种结果的教育,这种教育要走在时代的前面是不可能的.“智慧并不表现在经验的结果上,也不表现在思考的结果上, 而表现在经验的过程,表现在思考的过程中.”“智慧表现于对问题的处理,对危难的应付, 对实质的思考以及实验的技巧等等.”归纳能力是建立在实践的基础上的,更多地依赖于过程,依赖于经验的积累.

要培养一个人的创新能力,必须注重过程, 启发思考,总结经验,教会反思.“过程的教育”不是指在授课时要讲解、或者让学生经历知识产生的过程,甚至不是指知识的呈现方式. 而是学生探究的过程、思考的过程、抽象的过程、预测的过程、推理的过程、反思的过程等等. 讨论知识产生的过程是必要的,但是不可能把知识产生过程都重复一遍,因此,重要的是加深对问题本身的理解, 并且能够抓住问题的本质,启发新的思考. 比如函数,现在函数的定义非常好,但是当初并不是这样定义的. 当初“function”是莱布尼兹给出的, 他当时定义的只是图形与数量的对应. 虽然他的定义是有问题的,但是他抓住了函数最本质的东西. 虽然以后定义改的非常好了,本质却看不见了. 一个学者或发明家得到的最后结论可能是非常完美,但头脑中思考的是非常简洁的东西. 我在教研究生时,总是让学生先读懂华丽文章的背后思考的东西是什么、思考的主线是什么、思考的核心是什么, 这个读出来才能发明创造, 把根本的东西吃透了才能得到新的东西. 现在,数学课堂上讨论的很热闹,讨论时是一锅粥,讨论完了还是一锅粥. 为什么呢 ?老师必须帮学生总结,不是总结结论对还是错, 而是讨论过程中孩子的思考对还是不对,思考的是符合常理还是不符合常理. 老师帮助孩子反思总结,积累经验,这是我们的目的. 我们必须清楚,世界有很多东西是不可传递的,只能靠亲身经历,比如智慧. 智慧并不完全依赖知识的多少,而依赖知识的运用、依赖经验,你只能让学生在实际操作中磨练,自己去感悟, 去积累去反思.

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