3 　我国教育的现状

回忆我们的数学教育,特别是50 年代的数学教育,我们强调数学的双基. 双基主要是基础知识和基本技能. 基础知识本质上是概念的记忆和命题的理解,要求基础知识扎实;还要求基本技能,主要是证明的技能和运算的技能;要求熟练. 这是我们当时整个教育的状况,也就是说我国的数学教育主要关注的是演绎能力的培养. 关于这一点, 杨振宁先生深有体会. 他在《我的生平》中说“:我很有幸能够在两个具有不同文化背景的国度里学习和工作,我在中国学到了演绎能力,在美国学到了归纳能力.”不仅仅是杨振宁先生, 许多留学生都有同感,不管他们是否作出了卓越的成绩, 他们的感受是一样的. 事实上,我国古代传统数学的基础是归纳推理,因为在古代中国根本就没有演绎推理, 一直是归纳、计算. 但是现在归纳少了,演绎反而多了. 演绎从康熙时代翻译《几何原本》开始到现在也不过几百年历史,但是现在却占了主导. 为什么会出现这种情况 ?我想大概演绎和中国上千年的科举考试关系密切. 因为科举要求的是基本功扎实, 知识记忆的牢靠和八股文的写作. 演绎方法与此有相似之处.

现在,很多中学提出来,数学问题应该“一看就会、一做就对”. 怎么能这样呢 ?不经过思考的不是数学,数学不是技能训练. 一定程度的熟练是必要的,但是过分强调就走向反面. 所以我这次跟教育部很认真地提出来,要不然增加考试时间, 要不然减少考试题目. 只要学生经过思考能够答出就是好样的.

演绎能力是能够熟练使用演绎推理的能力. 演绎推理来源于什么呢 ?来源于亚里士多德. 当时的古希腊非常盛行辩论, 在辩论过程中, 亚里士多德发现两个事情需要清楚, 第一, 大家讨论问题得有一个脱离逻辑背景的公认前提;第二, 在讨论过程中必须有一个大家都认为可行的推理的办法,然后再来推理. 亚里士多德对这个进行了总结, 并将其写入《工具论》这本书里. 他提出了著名的三段论,即大前提、小前提和结论. 这个方面他有一个非常重要的推理的模式,这个模式之一就是:

凡人都会死,苏格拉底是人,苏格拉底会死.

凡人都会死是大前提, 苏格拉底是人是小前提,苏格拉底会死是结论. 这是一种标准的三段论模式. 这是一种前提和结论之间有必然性联系的推理,是基于概念、按照规则进行的一种推理,是由一般到特殊的推理. 欧几里德把这个思想成功地用到了几何学的研究上, 创立了几何公理化体系, 即欧氏几何.

欧几里德几何是现代数学推理的典范,甚至是开源. 它的演绎推理是基于公理、定义和符号的,按照规定的法则进行命题的证明或者公式的推导. 从这个意义上来说,计算也是一种演绎的推理, 因为计算也是对符号在规定的法则下进行的一种推理.其基本推理模式是这样的:已知 A 求证B ,A 和B 都是确定的命题,是由确定的命题到确定的命题的一种推理. 我们往往认为几何证明是数学的本质, 这是不正确的. 克莱因说,推理本身是个工具. 逻辑可以是数学的标准和约定, 但不是它的本质. 演绎推理的主要功能在于验证结论而不在于发现结论,由一般到特殊的推理本质上在于验证结论.

前些年我写了篇文章, 提出个问题:数学到底是发明的还是发现的 ?事实上, 在一个体系之下作出任何结果都是显然的. 为什么呢 ?因为这个结果在体系中必然存在的,只是你发现它而已. 所以体系建立有好处也有坏处. 它的好处在于讲课可以很规范,坏处在于任何东西都是显然的. 所以忙于建立一个体系不是什么好的事情.

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