《中学数学课程与教学中的函数及其思想》

———数学教育热点问题系列访谈录之三

20 世纪以来, 世界各国中学数学中关于代数的内容逐渐从以解方程为中心转到以研究函数为中心。[1 ] 现在, 函数概念已经成为中学数学中最为重要的概念之一。因此, 在中学数学课程改革中, 理解函数思想, 把握函数本质, 处理好函数的教学是很重要的。针对上述问题, 我对史宁中教授进行了访谈, 下面是经过整理后的访谈记录。

　　一、函数及其思想

问: 函数概念是中学数学中最重要的概念之一, 函数定义的形成经历了较长的演变过程,您可以谈谈函数定义的发展历史吗?

▲史教授: 是的, 函数定义的形成确实经历了较长的时间。即使在今天, 在我们数学教科书中, 函数的定义在初中、高中、大学还是有所不同的, 这也从一个侧面反映了函数定义的发展历史。

最初, 是德国数学家莱布尼茨(Leibniz)在他的一部手稿中, 用到了Function 一词。是用来表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量, 例如, 切线、法线、次切线等的长度和纵坐标等, 那是在17 世纪(1673 年) 。[2 ]到了18 世纪(1718 年) ,贝努利(Bernoulli)给出了函数的解析定义: 是由变量x 和常数组成的式子。欧拉( Euler) 首先给出了函数的变量定义(1755 年) : “如果某变量以如下方式依赖于另一些变量, 即当后者变化时, 前者本身也发生变化, 则称前一个变量是后一些变量的函数。”可以看到, 我国初中数学教科书中关于函数的定义就采用了这一说法。

后来, 黎曼(Riemann) 给出了函数的对应定义(1851 年) : “我们假定Z 是一个变量, 如果对它的每一个值, 都有未知量W 的一个值与之对应, 则称W 是Z 的函数。”这可以被看作我国高中数学教科书中关于函数定义的雏形。

到了上个世纪(1939 年) , 布尔巴基学派认为, 函数的定义应当强调关系, 于是借用了笛卡儿积: 若X 、Y 是两个集合, 二者的笛卡儿积是指集合{ ( x , y | x ∈X , y ∈Y) } , 笛卡儿积中的子集F 被称为x 与y 之间的一种关系。如果关系F 满足: 对于每一个x ∈X , 都存在唯一的一个Y , 使得( x , y) ∈F , 则称F 是一个函数。在美国中学的一些教科书中就采用了这种定义,[3 ] 我国的一些大学数学教科书也有采用这种定义的。[4 ]

有时, 分别称上述三种定义为变量说、对应说和关系说。

问: 既然函数的定义可以是多样的, 那么函数定义的核心思想是什么呢?

▲史教授: 我认为, 在整个基础教育阶段数学的核心是研究关系, 具体来说研究三种关系,即数量关系、图形关系和随机关系, 我在一篇文章中曾经谈到这一点。[5 ] 函数研究的是两个变量之间的数量关系: 一个变量的取值发生了变化,另一个变量的取值也发生变化, 这就是函数表达的数量之间的对应关系。其中有三点是重要的:一是变量的取值是实数; 二是因变量的取值是唯一的; 三是必须借助数字以外的符号来表示函数。我想, 这些就是函数定义的核心思想。关于符号表达, 无论是借助解析式, 还是利用图像或者列表都是可以的。

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