面对生成，我们该如何应对？

现代数学教学更关注过程的价值，关注学生学习的体验和感受。学生良好的情感态度和价值观的获得也是一项教学目标，一定程度上，这比知识和技能的掌握更重要。我知道学生的结论是错误的，但我无法解释，那么，对于这个过程的思辩和探究是否该停止了呢？从知识准确习得的角度说，学生是失败的，继续研究讨论错误的结论是没有必要的。但从另一个角度来看，学生是成功的，因为他不仅参与了数学活动，获得了亲身体验，而且在正确与错误的思维交锋中，迫使自己不断调整、完善、重塑头脑中的数学知识结构。只有经过深刻地讨论研究，真正弄清了错误的根源所在，才能更深刻的体会正确之“正”的真正意义。就算反复考虑后仍无法解答，留一个问号在脑子里，随时思量，也是一件不错的事情。这个探究的过程，就是学生自我进步的过程。当然这个讨论的过程放在课后小范围中继续进行，更能处理好班级整体发展与个人发展的协调关系。

为了这个问题我查看了七八本书，还请教了教研员和数学学科方面的专家，在他们的指导下，总算对这个问题有了进一步深入的理解:我们一直从面的角度在考虑，无限分割成面后，把任意一个面沿对角线平分，那么三角形x和三角形y的面积相等(如图四)，因此旋转累加后，三角形x所形成的体与三角形y所形成的体也是体积相同的，因此学生的“1/2说”似乎是有根据的。但事实上，旋转成型和线形叠加成型是不同的。旋转时，旋转的角度虽然一定，但旋转点离中心点的位置不同，实际移动的距离也是不同的。打个比方，在旋转面的一条边上取两个点j和k，旋转同样的角度时，j所移动的距离要明显的大于k所移动的距离（如图五）。也就是说，在每个旋转瞬间形成的是中间薄、外端厚，底面是扇形的柱体（如图六）。把它沿着AEF这个面分割，三角形x沿AB轴旋转所形成的四面体是ABEF, 三角形y沿AB轴旋转所形成的五面体是ACDEF,从体积的角度看，这两个部分的底面完全相同，是一个扇形，但分开比较后可以发现， 三角形x沿轴AB旋转所形成的体，以轴AB为高度最大处的厚度（如图七），而三角形y沿轴AB旋转所形成的体是以弧面CDEF为高度最大处的厚度（如图八），两者的体积进行比较显而易见是后者比较大。由此推论，“1/2说”就不能成立了。

如果能证明五面体ACDEF的体积正好是四面体 ABEF的两倍，那倒可以成为圆锥体积“1/3说”的另一种证明方法，想到这里，心底不仅有些兴奋，同时也不免有些可惜，弧面的计算方法是我未曾涉猎的知识，看来学生所需要的这滴水从我的水桶里是舀不出来了，这个问题开始促使我重新审视自己的知识结构，我所拥有的知识还远远不够啊！

学生期盼的解答终于慢慢揭开面纱，但这么复杂的解释想让六年级的学生接受似乎有点困难，得想个好方法。

当我为这个问题再次走进教室的时候，我的手中多了一个圆形蛋糕。我先借用范托的道具演示了一番，让学生清楚感受到形成的是一个圆柱体，然后拿出了蛋糕。学生兴奋的尖叫起来。

“我们来切一个面看看。”我从圆心出发切了一刀，让学生想象切面是什么形状。学生想到了，是长方形，只不过藏在里面。“30个这样的长方形叠加呢？我拿出了另外的三十个大小相同的长方形追问。 “是长方体”学生毫不犹豫的回答，我按他们的意思叠加了一遍，果然是长方体。接着我不紧不慢的说：“如果旋转了一度算一片，旋转30度左右，该切在哪儿？”很多学生自告奋勇来切。“观察，你发现了什么？” 在两个物体的比较中学生很快明白直线叠加和旋转叠加的不同：直线叠加两端同时增厚，而旋转叠加一端增厚，沿轴的一端厚度却一直没有发生变化。

 “适合直线叠加的推论就不一定会适合旋转叠加，因为他有一部分被互相‘挤’掉了”，学生有些醒悟了，有同学小声在说：“那就不一定是1/2了。”

我看还有一些学生没有想明白，便拿起切下的那块蛋糕，让学生看着，再做一番追问：“这个面是长方形吧？”“沿对角线一分是两个一模一样的三角形吧？”“好，沿这条对角线把蛋糕切开，两块一样大吗？”学生中起了争论，不一会就只剩下一种声音：“切开来看。”当蛋糕被我用上面的方法切开来之后（如图六），学生终于明白了，用面的方法来思考体，是不周到的。当两个奇特的“几何体”真实的摆在他们面前时，他们已经明白了“二分之一”错误的原因，明白了那个我也无法用他们现在所能理解的数学语言来解释的理由。虽然他们都还说不出这两个几何体的叫什么，在数学上是什么名称。

学生惊叹的眼神冲撞让我获得了巨大的满足，多日来的辛苦也似乎有了最大的补偿。学然后知不足，教然后知困。知不足，然后能自省也；知困，然后能自强也！

【编者的话】学生对圆锥和圆柱的体积之间的关系，提出了质疑，并且这种质疑“有理有据”，这是难能可贵的。而孙老师面对学生的质疑，不是采取硬性地灌输，让学生记住已有的结论，而是从分析学生、研究学生入手，仔细寻找学生得出这种结论的逻辑起点，并寻求数学上的解释。学生是用到了一个看似正确的命题“相同的多边形运动形成的几何体的体积相等”，由此推理得出的结论。找到学生的推理的依据，如果用一句话告知：这个说法（命题）不成立，只在平移时成立，学生可能接受，但我们相信，学生得到的仅是一个正确的命题而已。孙老师又针对学生的困惑，选择适合小学生年龄特点的学习方式，通过操作、演示，让学生经历探究的过程，发现自己的错误所在，这一做法，确实让人称道。

读罢此文，我们也很想知道，面对学生的质疑，你还有什么样的处理方式？你会采取什么策略来解释个中的原因？

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