早年在中国所受的教育

我于1923年1月进天津扶轮中学。那是一所四年制的高级中学，我获准插班入一年级就读第二学期。该校的数学课程有：

(1)第一年，算术，使用中文课本；

(2)第二年，代数，使用Hall与Knight的课本；

(3)第三年，几何，使用Wentworth与Smith的课本；

(4)第四年，三角学和高级代数，分别使用Wentworth-Smith及Hall-Knight的课本。

我的老师都很有能力，又极富献身精神，我做了大量习题。到第四年，我已能做许多Hall-Knight的书中引用的剑桥大学荣誉学位考试的题目。

1926年我从扶轮毕业；同年我进南开大学，实际上是跳了两级，因此我从未上过解析几何课。更糟的是，我必须参加南开大学的入学考试，其数学试题中解析几何占很重的份量。考试前的三个星期，我自学了Young与Morgen的《数学分析》（Mathematicalanalysis）如果记得不错的话，我的考卷位列第二。不过在很长的一段时间内，「圆锥曲线的焦点」这一概念令我大伤脑筋，直到几年后学了射影几何学我才茅塞顿开。

进南开大学后，我很快就发现自己做实验笨手笨脚，于是数学便成为我唯一的选择。我有幸得姜立夫教授为师-他1918年获哈佛大学哲学博士学位，导师是J.Coolidge，论文题目是关于非欧几里得空间中线球接触变换的。因此，我在大学第四年，花了许多功夫学几何，所读的书中有Coolidge的《非欧几何学》(NoneuclideanGeometry)与《圆和球的几何学》(Geometryofthecircleandsphere)，Solmon的《圆锥曲线》(conicsections)与《立体解析几何》(AnalyticGeometryofThreeDimmensions)，以及Castelnuovo的《解析几何与射影几何》(AnalyticandProjectiveGeometry)等。尤其使我着迷的是OttoStaude的二卷本着作《线构造》(Fadenkonstruktionen)。二次超曲面的几何是数学中优美的篇章。我很高兴看到J.Moser1979年在可积哈密顿系统和谱理论的研究中继续这方面的工作。（参见3）甚至在今日，研究Salmon的东西可能仍是有价值的，至少在我看来是有趣的。

1930年我从南开毕业，去北平清华大学从孙鎕（注1）教授工作。孙先生在当时是中国发表数学研究论文的唯一的数学家。孙的研究领域是射影微分几何，他曾是芝加哥大学E.P.Lane的博士生。这个主题由E.J.Wilczynsky于1901年创立，是那时已经支配几何学近一世纪的射影几何的一个自然产物。我熟悉了这方面的文献，并写了几篇论文，其中包括我的有关射影线几何的硕士论文。继Plücker与Klein之后，线几何一直是几何学家们喜爱的主题。事实上，Klein的学位论文就是关于二次线体的，即Plücker坐标下的二次方程所确定的线轨(lineloci)。二次线体具有许多背景中也有许多线几何的内容。

我的论文研究线汇，即线的二维子流形以及它们的通过二次线体的密切(osculation)。

在我的研究生学业接近结束时，即大约1934年左右，我开始认识到整体微分几何（当时称为大范围微分几何）的重要性。我的主要灵感来自W.Blaschke的关于微分几何的那些著作。

很清楚，代数拓扑是整个领域的基础。而代数拓扑本身当时还处于发展阶段。Veblen于1922年发表的analysissitus（注2）引进了「同调不变量」(homologycharacters)即根据关联矩阵得出的Betti数和挠系数。Lefschetz的《拓扑学》于1930年出版，但该书对初学者进入这个领域并无裨益。我曾听过EmanuelSperner的讲课（1933～1934年）。当时Sperner正在北京大学访问，他的课包含有对ErhardSchmidt关于约当曲线定理的证明的严密而详细的论述。我也听过江泽涵讲授的以Lefschetz的书为蓝本的「位置分析」课，江是MarstonMorse过去的学生，曾担任Lefschetz的助手。而我当时的感觉是我只是刚刚站在代数拓扑这座伟大殿堂的门口。到1934年Seifert-Threlfall的书和1935年Alexandroff-Hopf的书问世，情况才有了巨大的变化。

1932年春季，Blaschke访问了北平，作了关于「微分几何中的拓扑问题」的系列演讲。这是真正的局部微分几何。他采用全体微分同胚构成的伪群取代经典微分几何中的李群，并研究了局部不变量。我能跟上Blaschke的演讲并去阅读发表在汉堡大学数学讨论会论文集(HamburgerAbhandlungen)及其它杂志上的包含在这同一个总标题下的许多论文。这个主题现在称为网几何(webgeometry)。由于有此接触，之前又已掌握Blaschke的微分几何书中的知识，所以当1934年获得一笔奖学金时，我决定去汉堡留学。