2005年国家课程改革实验区初中毕业学业考试命题培训研修材料·数学

数学的发展史表明，早期的数学主要是人类的一种实用性技术或工具，广泛地用于解决人们的生产和生活中的问题。随着人类的科学、技术、文化的进步，也由于数学自身的发展，数学逐渐成为自然科学、人文科学、工程技术的共同理论基础，与此同时，数学也逐渐成为人类精确思维的典范。当代，伴随着计算机科学的突飞猛进，数学更具备了科学与技术的双重身份。

处于义务教育阶段的学生在其数学学习的过程中，接触到的则更多地是以学科形态出现的数学内容。这样的数学内容，除了在一定程度上保持了数学科学的基本特征，还具有许多“作为教育任务的数学”的特点：

程。学生在这一阶段所学习的数学内容，都可以在生活中找到“原型”，或者说，人们可以为所有的“抽象数学”找到现实的模型，以帮助学生了解所学内容的产生、发展和完善的基本过程；

“完备”的科学，从而，学习数学所要从事的活动应当更多地包括观察、实验、猜想、推理、交流等“做数学”的形式，而不能简单地归结为主要是接受、模仿和记忆等“听数学”的形式；

新的定位——设置数学课程的基本目的不仅仅是帮助学生掌握相应的数学知识、技能和方法，更重要的还在于从数学的角度促进学生的整体发展——作为未来社会合格公民的一般性能力发展，以及充分的个性发展；

4．有效的数学学习过程给学生带来的不应当仅仅是知识、技能或方法等方面的进步，它更多地还在于对学生自我发展的一种促进、帮助——包括在思维层面、能力、情感和态度等方面。

在上述基本理念之下，数学学科学习内容的基本要点分别是：

代数是表示、交流与解决问题的工具；代数内容的学习应当从

例如：“有理数与实数”主要关注：数产生的过程——包括实际背景和抽象过程；数的特征；数的表示法；数的运算——包括运算的意义、几何背景、算理（运算法则和运算律）、运算方法等。淡化单纯为运算而做运算的学习。

方程（组）主要关注：方程模型的意义；解方程的过程和思想方法；运用方程模型解决问题；方程与函数和不等式的联系等。

函数主要关注：将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；及早渗透函数的思想；借助多种现实背景理解函数；通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；关注函数与相关知识的联系；推迟函数的形式化表达方式等。

图形与空间部分学习的最主要目标是发展学生的空间观念。空

间观念的发展需要经历一个由对具体几何对象的“操作”到凭借几何图形“想象、推理”的发展过程。按照《全日制义务教育数学课程标准标准（实验稿）》（以下简称为《标准》）的规定，这一部分的学习内容包括“图形的性质”、“图形与坐标”、“图形与变换”和“图形与证明”。

“图形的性质”——以现实生活中的有关图形作为背景，通过不同的活动（观察、展开、折叠、变换、作图、推理等）探索相应的图形性质；采用综合法证明有关性质。

“图形与坐标”——“能够采用适当的坐标方式表达一个空间（部分），或者空间中物体之间的位置关系”，以及“了解基本的图形位置关系（及其变换）与相应的坐标变化之间的关系”。

“图形与变换”——对现实生活中各种相应变换现象的了解，借助变换的方法认识图形的一些基本性质。

“图形与证明”——基本目标是学会逻辑论证，基本内容包括理解命题的条件和结论之间的逻辑关系和形式化地表达这样的逻辑关系。其中，理解逻辑关系是内在的核心，表达则是一种类似于语法的外在表现形式。因此，“图形与证明”的基本学习内容应当包括：对证明必要性的感受；证明中需要使用的数学语言、符号；具体的证明过程；一般的证明方法；更进一步的内容可以是：由证明过程而获得的对相应命题的深刻理解，得到的新发现，等等。

统计内容学习的基本目标是发展学生的统计意识，能够做一些合理的统计推断；概率内容学习的基本目标是了解随机现象，能够处理一些简单的不确定事件。具体的学习重心分别是：

统计——统计过程；基本统计量的含义；抽样活动的基本要求；一些简单的数据处理方法。

概率——概率的含义；一些简单的概率模型；处理一些不确定事件的基本方法；等等。

同时，关注统计与概率之间的联系——从概率的角度分析统计活动中的数据特征；借助统计活动学习概率。

并不是一些具体的概念、定理、法则等等，而更多地在于一些具有数学内涵的活动、任务和问题情境等；同时，其学习重点也大多表现为学生从事学习活动时的自主性、探究性、合作性，以及应用相应数学知识、方法时的综合性和深刻性等；具体的学习素材则有着较为宽泛的选择空间，只要它们满足以下一些条件均可作为学习的素材：所牵涉的背景符合学生的现实、涉及到的数学内涵有一定的价值、解决问题的过程有利于学生从事观察、分析、实验、猜想、交流、推理等重要的数学活动。

《标准》对新课程意义下的数学学习评价提出了若干条明确的要求，其实质在于突出新的评价理念：评价的目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的数学学习和改进教师的数学教学。具体到初中毕业数学学业考试（以下简称为数学学业考试）方面，我们应当：既关注学生在具体的数学知识、技能、方法等方面的学习情况，也关注他们在一般的数学思考、解决问题等活动中的情况；既关注学生的数学学习结果，也关注他们的数学学习过程；既关注学生的数学学习水平，也关注他们的数学学习特点。

为此，实施数学学业考试必须关注考试内容的多元化。具体说来，除了数学知识、技能、方法以外，以下几个方面的内容也应当成为考查对象。

与上述的知识和技能性目标不同，“数学思考”的内涵并非单纯

地指向纯粹的数学内容，而更多地指向学生的一般发展和用数学解决问题的过程。事实上，对绝大多数学生而言，他们未来对数学的需要不会出自于研究数学本身而引起的，更多的应当是来源于解决各种各样的现实问题——工作中的、或者是生活中的。因此，这一目标的重心在于使这些未来的公民能够进行“数学的思考”——不管他是在思考数学，还是在用数学思考其他的问题。

能够用数来表达和交流信息；能够使用符号表达数量关系，并借助符号转换活动获得对事物的理解；能够观察到现实生活中的基本几何现象；能够运用图形形象地表达问题、借助直观进行思考与推理；能意识到做一个合理的决策需要借助统计活动去收集信息；面对数据时能对它的来源、处理方法和由此而得到的推测性结论做合理的质疑；能够正确地认识生活中的一些不确定现象。能从事基本的观察、分析、实验、猜想和推理的活动，并能够有条理地、清晰地阐述自己的观点。

作为一个学习目标，“解决问题”所牵涉到的内涵最为丰富，也最为复杂。虽然学生几乎天天都在“解题”，但《标准》所关注的“解决问题”并不等同于这些解题活动：首先，在内容方面，《标准》所提到的“问题”不限于纯粹的数学题，特别是不同于那些仅仅通过“识别题型、回忆解法、模仿例题”等非重要的思维性活动就能够解决的“题”。这里所说的问题既可以是纯粹数学形式的数学题，也可以是非纯粹数学形式的各种数学题。但无论是什么类型的“问题”，其核心都是需要学生通过“观察、思考、猜测、交流、推理”等富有思维成分的活动才能够解决的；其次，在具体内涵方面，《标准》的要求是多方面的，包括：初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，能综合应用所学的知识和技能解决问题；具备一些解决问题的基本策略；能够与他人合作、并交流彼此的思维过程和思维结果；有一定的反思意识和能力等。

因此，《2005年初中毕业学业考试命题指导·数学》（以下简称为《指导》）将以下内容列为考查学生解决问题能力的主要指标：

能从数学的角度提出问题、理解问题、并综合运用数学知识解决问题；具有一定的解决问题的基本策略；能合乎逻辑地与他人交流；具有初步的反思意识等等。

作为新课程的一个具体目标，学生的数学活动过程始终是课程、教学及其评价所应当关注的对象。相比其他两个方面而言，评价对此所赋予的关注显然是不够的。课程设置中明确提出了“过程性目标”，教材里也设计了很多活动素材、机会，许多教学活动中也都有具体的步骤与此相对应，当前比较缺乏的就是在评价中，特别是数学学业考试中如何有效体现对“数学活动过程”的关注。《指导》明确指出，对学生“数学活动过程”的评价，可以从以下几个方面进行：

数学活动过程中所表现出来的思维方式、思维水平，对活动对象、相关知识与方法的理解深度；从事探究、证明等活动的意识、能力和信心等。能否通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想，并寻求证明猜想的合理性；能否使用恰当的数学语言有条理地表达自己的数学思考过程。

● 学生在从事数学活动过程中的行为特征——这一类指标主要

● 学生对于活动对象的认识情况——这一类指标主要关注学生

的认识水平，如对客体的认识深度、广度，对所应用的数学知识、技能、方法的理解程度、熟练程度等；

鉴于数学学科内容所具有的基本特征——知识与方法的表现形态等，《标准》对学生从事数学学习活动的基本要求——掌握相应的知识和方法、形成一定的能力、能够应用数学解决相应的问题、在认知水平和情感态度等方面获得一定的发展、等等，我们认为，就目前的条件和数学测量的研究成果而言，数学学业考试的基本形式应当是书面闭卷考试。

需要注意的是，由于数学学业考试应当考查学生在数学学习诸多方面的发展情况，因此考试的时间不宜过短，否则无法使学生能够比较充分地表达自己从事数学活动的基本过程，自然也就不能够对此做较为真实的评价；而另一方面，根据学生心理发展特征，数学学业考试的时间也不宜过长，否则学生很有可能因思维疲劳而不能真实地表现自己的数学活动水平，自然也就无法达到客观地、准确地评价学生的数学学习状况的目的。

应该指出的是，书面闭卷考试在比较适用于考查学生对数学知识、技能和基本方法掌握情况的同时，在对学生的“数学活动过程”情况、“数学思考”水平和特征、“解决问题能力”等内容方面的考查也存在着明显的局限性。例如，由于考试时间较短、考试场地局限，无法考查学生应用数学解决问题的全过程；由于考试过程中的不可交流性、无法准确而全面地考查学生的数学活动过程、数学思考特点，等等。有鉴于此，我们鼓励广大数学教师和数学教育测量的研究者对数学学习的评价方式做进一步的探索，希望能够有其他更有效的考试形式出现，与书面闭卷考试一道，共同测量学生的数学学习状况。

2005的《指导》提出了四条基本的命题原则，这些原则无疑是各课程改革实验区从事数学学业考试命题工作的基本指南。在此基础之上，各命题单位应针对自己实验区的具体情况，命制富有区域性特色的试卷，以期对2005届毕业生数学学习达到《标准》的状况做一个较为客观、全面的评价。以下从实施的角度对《指导》提出的四条基本命题原则做一些阐释，并提供一些操作性方面的建议，供大家参考。

要突出对学生基本数学素养的评价。试题应首先关注《标准》中最基础、最核心的内容，即所有学生在学习数学和应用数学解决问题过程中最为重要的、必须掌握的核心观念、思想方法、基本知识和常用的技能。一方面，具体的考查内容应涵盖《标准》所涉及到的任何知识领域；另一方面，所有试题（包括求解过程）中所涉及的知识与技能也应以《标准》为依据，不能扩展范围与提高要求。特别地，《标准》中没有要求掌握的具体知识不能成为解决问题过程中实质性或必备性的内容。

其一，考试所关注的内容应当是《标准》中最基础、最核心的内容，它的含义在于这些内容是针对全体学生所提出的，而且在数学上是重要的、核心的，它不能等同于简单；

其二，这样的内容目标应当是《标准》中针对初中毕业水平而设立的，并不是在达到上述目标过程中的阶段性要求。例如，对于是否达到“符号感”的评价要求，并不能以是否能够解答“举出生活中可以用5a+4表示的例子”这一类问题来评价，因为后者只是为帮助学生形成“符号感”的一个环节而设；

其三，所有试题（包括求解过程）中所涉及的知识与技能应当以《标准》为依据。其含义非常明朗，但鉴于目前课堂教学中的一些实际状况，有必要在此给出更进一步的说明。在初等数学中，有许多带有一定技巧性的知识、方法，它们在解决一些特定类型的问题时比较方便，例如待定系数法、十字相乘法等等。但它们又都不是基本的数学方法，而且并非《标准》所规定的必学内容。对于这一类知识或方法，命题时应特别小心，不应当将它们与《标准》中的基本内容同等对待。

例如，根与系数的关系、十字相乘法等内容并不是《标准》所要求的基本学习内容，因此，学业考试的试卷中就不应当出现有类似如下特征的方程——考生在使用了十字相乘法以后可以很方便地求解，而若使用《标准》中所要求的基本方法（公式法等）求解却非常复杂。比如，我们应当让学生求解3x²-14x+8=0型的方程。

事实上，利用十字相乘法解该方程时，学生要进行多次试误；而利用公式法时，本题由于b²-4ac=100很容易“开”出来，也十分简单，所以很难说十字相乘方法更快捷。

不同的学生在数学认知风格、数学思维特征、数学表示的偏好等方面存在着差异，这些差异通常不能够简单地视为“好与差”、“强与弱”，因此，数学学业考试的考查内容、试题素材和试卷形式在总体上对每一位学生而言应当是公平的。即，要避免需要特殊背景知识才能够理解的试题素材；要避免试卷的整体表达方式有利于一种认知风格的学生、而不利于另一种认知风格的学生。对于具有特殊才能和需要特殊帮助的学生，试卷的构成应考虑到他们各自的数学认知特征、已有的数学活动经验，给他们提供适当的机会来表达自己的数学才能。例如，试卷中应当设置既可以使用代数知识与方法去求解，也能够借助几何知识与方法去解决的问题，同时，制订评分标准时应以开放的态度对待合理的，但没有预见到的解答，要尊重不同的解答方法和表述方式。

所谓“公平性”的实质主要表现在两个方面：其一，考试应当关注对所有学生数学学习状况的客观评价——即给每一位学生都提供表达自己对数学的理解情况的机会，而不仅仅是给那些处于某些特定认知水平之上（之下）的学生；其二，考试应当给学生提供全面表达自己数学学习状况的机会，而不能使得学生的某些特殊才能无法展示。

同时，对学生的不“规范”表述方式，应当持有一种开放的态度，即在保证实质性正确的前提下，赋予其应获得的等级。

数学中的问题解决是基于解题者对问题的理解基础之上而进行的。因此，首先应当要求试题的背景是来自于学生所能理解的生活现实或其它学科现实——与生活或社会相关的题材应当具有鲜明的时代特征，能够在当今学生的实际生活中找到原型，避免在试题的背景或解答中出现与生活经验或其他科学原理相悖的情形；而且其中所蕴涵的数学应符合学生所具有的数学现实——否则，或者导致考生由于不理解试题的背景而造成解题方面的不必要障碍，或者引发教学中产生不良的机械性记忆学习模式。

对此，应当注意的是如何理解学生的现实。显然，学生在自我的实际生活中能够经常直接接触到的背景是他们的现实，但是，他们的现实却不能够仅仅局限于此。例如：学生们在数学学习过程中已经获得的知识、方法，包括经验，都可以看作是他们的现实——数学现实；而学生们在其他学科学习过程中获得的相应知识和方法也应当被看作是他们的现实——知识现实；甚至，学生们在各种学习活动中获得的经验——包括通过各种传媒获得的，也都应当可以成为他们的现实。

● 试题内容与结构应当科学、题意明确，试题表述应准确、规范，要避免因文字阅读困难而造成的解题障碍；

需要注意的是：考试不同于日常教学，考生在考试过程中没有机会与他人交流对试题的理解，因此，试题的表述应具备准确性、可理解性等基本要求。同时，作为数学学业考试，试题的阅读水平要求必须适当，必须避免因文字阅读困难，包括阅读量过大、或者有一些冷僻的词语、或者试题的背景中有一些学生很难理解的情境等，进而给考生造成一些非考查目标性的解题障碍。特别对于应用性的试题来说，尤其要注意杜绝这方面的问题。

● 试题设计与其要达到的评价目标相一致，如测试技能使用情况的试题不能用于评价对概念的理解，计算性的问题不能用于评价解决问题的能力，考查学生对变化规律的理解与表述时，不能仅仅通过对若干特定位置（数值）的求解来进行，等等。

这里所提及的问题具有普遍意义，例如：考查学生对方程（组）或不等式（组）内容的掌握情况，不能仅仅通过设置解方程（组）、不等式（组）类型的试题来实现；考查学生对诸如平均数、众数、方差等统计量的理解情况，不能仅仅通过设置一些计算相应统计量的试题的来实现；考查学生的推理能力不能仅仅通过设置几何证明题的方式来实现；考查学生对函数内容的学习状况，不能仅仅通过设置一些求解函数特征的试题来实现；

特别地，考查学生的数学思维状况也不能仅仅关注他们的思维结果是否正确。

例1：已知方程(m²－4)x²－6(m－2) x＋3m－4＝0，当m 时，它是一元二次方程；当m 时，它是一元一次方程．

例2：某次歌唱比赛中，六位评委对某选手的打分如下（单位：分）：9.6，9.4，9.2，9.6，9.5，9.4。

（2）如果规则规定，去掉一个最高分和一个最低分，余下的分数的平均值为选手的最后得分，求这位选手的最后得分。

上面两题都仅仅考查了学生对有关概念的记忆以及基于概念记忆基础上的运算技能，而没有能够考查出学生对有关概念的理解。

● 试题的求解过程应反映《标准》所倡导的数学活动方式，如观察、实验、猜测、验证、推理等等，而不能仅仅是记忆、模仿。

一方面，作为《标准》理念指导下的数学学习评价，数学学业考试无疑应当关注对《标准》所提倡的各种目标的达成状况的考查；另一方面，由于数学学习在很大程度上是一种理解性学习，因此，一切有助于理解数学的行为都应当尽可能成为考查对象。而“观察、实验、猜测、验证、推理”等活动都是兼具这两方面特征的数学学习行为，就更应当成为考查的对象。以这样的方式确定试题的考查对象能够保证按照新课程的理念从事教学的教师和学生尝到改革的“甜头”，有利于指导教学实践向着“轻模仿”、“重理解”的方向转变。

*项目组成员：马复、喻汉林、章飞、江守福、朱诚、赵恬恬、刘静、武永江、苏文娟。

本文执笔人：马复、章飞、江守福、朱诚、喻汉林、赵恬恬、刘静、武永江、苏文娟。