追问２：教学过程

学生在进行分母有理化时只乘分母不乘分子，发生这中错误的根本原因是什么？是把分母有理化作为一个外来的新概念、学习后根本没明白，还是建立了与小学学习过的分数的练习、而对过去知识掌握的不好导致了现在的错误？为什么反复强调和练习仍不能校正他们的错误？

这需要到新授课中去寻找答案。

T老师根据自己的教案回忆了自己新授课的情形。

点击查看T老师的教案：二次根式的除法

  在授课过程基本上是按教案进行的,以讲授和练习为主，着重强调了运算法则和运算步骤,强调了书写格式,但在分母有理化的原因上只是一带而过,重点放在了如何让学生掌握有理化的方法上.

我们能否从这个教学过程中分析出教师关注的是什么？

教学重点：

会利用二次根式的除法及商的算术平方根的性质对一些式子进行化简；会进行分母有理化。

这一教学重点的确定意味着什么？

从这段教学过程看，老师有一种让学生自己探究结论的意识和尝试，如开始的归纳，这是提高教学有效性的一种很好选择；然而，归纳需要丰富的情境，对于大多数学生来说，显然很难从一个题目中就抽象出一类事物的特征，T老师为什么作了而又不彻底呢，“设计这道例题是为了引入分母有理化”，这说明他的之所以作这样的设计只是为了展示问题的缘起，而非想让学生进行研究和探索。

将“重点放在了如何让学生掌握有理化的方法上”，并以示范和演练为主，在随后的习题课上，T老师“在教学设计中，采取的是练习、纠正、再练习、再纠正的方法”，力求帮助学生改正错误，然而对于自己并不明白道理的事情，老师反复校正的答案对他们来说也许只是如过耳之风。

教师确定的教学难点是学生的难点吗？

分母有两项的二次根式分母有理化。

事实证明不是，那么学生到底是哪里总不明白呢？——我们需要研究学生发展的原因。

追问３：这是Ｔ一贯的教学风格吗？

我们又听了Ｔ老师几节课，同时对学生进行了一些访谈，与Ｔ老师进行了一些访谈，感觉果真如此。

现代认知心理学认为，知识不是通过教师传授得到，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，借助其他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得。学习的质量是学习者建构意义能力的函数，而不是学习者重现教师思维过程能力的函数。换句话说，获得知识的多少取决于学习者根据自身经验去建构有关知识的意义的能力，而不取决于学习者记忆和背诵教师讲授内容的能力。

这些追问促进了T老师的反思——

也许真的有问题，我头脑中又出现了一些场面（作者：对学生的学习过程的关注的意识的苏醒）：当我津津有味讲解某一问题时，对学生提问学生却不知讲到何处了，比如，一次我在讲解练习册时，讲完填空该讲选择第二题时，发现杜骁同学低着头，于是提问了他，他却达成了填空第二题的答案，这说明他的思维已经开了半天的小差，我讲的并没有吸引他的注意力；平时判完作业就直接正面讲解，一般从第一道题开始，在学生问题比较集中的题目上多讲，恐怕学生听不懂还在关键处重复几遍，最后再总结易出现的问题，及如何避免发生类似问题的方法，力图改正大家的错误，但是班中总有学生犯同样的错误。以往我把这样的情况完全归结于学生听讲时精力不集中，或不专心。现在感觉我的课堂设计存在着一定的问题。

我问（作者：当关注对象不同时，就带来的新的评价方式）王媛媛做题时怎么想的，她说：

看来许多学生每天都在做练习，但是都在机械的模仿某些步骤，长此以往，概念没有理解，不良的学习习惯（模仿步骤）却养成了，从而形成恶性循环。

现在看来再多练习，如果学生不会思考，都是白做工。

Ｔ老师开始了改进自己教学的尝试

现在我在讲计算题时，不再设计成让学生模仿步骤地一言堂。而是增加了交流和探讨的活动，使学生知道怎样做之前更知道为什么要这样做。（作者：开始关注学生的学习过程，关注学生发展的原因，并设计相应的活动。）

比如为了让学生认识到对二次根式的求值题应先化简，再代入有很大的好处，我设计了这样一个题目：

我没有先介绍方法，进行正面说教，而是让学生自己先尝试着解答。

果然出现了三种做法：一种是直接将x代入求值；第二种是先化简了要求值得代数式，然后将a直接代入求值；第三种是首相将a和代数式都化简后在代入求值。

我找了以上三种做法的代表到黑板上来板演，其他学生来评价他们的做法。在这一过程中，真理不言自明，方法的优劣显而易见，选择好方法的学生有了成功的感觉，没有化简的学生也意识到了自己没有化简所带来的麻烦与易错，对化简得必要性有了切实而深刻的理解。

在对三种方法的评价过程中，学生的参与热情和投入热情也特别高，利用学生主动认知，也达到了教学的目标。

我的感觉好极了。

学生对自己错误的校正是一个自我否定的过程，教师只有提供适当的外部环境来促进学生的自我反省和观念冲突，才可能使得学生去对自己的错误进行检验并纠正。

现在我在批改作业或考试卷时不在直接标记出错的地方,这样学生就会主动分析自己的解题步骤何处出错,学生在改错的过程中可以看书或问同学或直接提问,总之就是要学生明白错误的原因，在改正过程中他们的思维是积极主动的，不明白的题目自然产生一定的认知冲突，在听起来就主动的去更正错误的原理和观念了。（作者：教学设计开始关注学生的学习过程，关注学生发展的原因）

采取了这些措施后，T老师高兴地发现，学生们对于这部分内容的掌握有了很大的进步：

期中考试中计算题的分比以往有一定好转。比如，王媛媛没有因计算扣分；彭兆雅只扣了4分，且都是有理数的加减乘除问题，没有因二次根式知识扣分，且比期中前的考试扣分要少，而在此前的第一周测验计算扣12分，第二周测验计算扣5分，第三周测验计算扣6分，第五周测验计算扣12分，第六周测验计算扣5分。

那么学生的真正理解了吗？期中考试后，T老师又对王媛媛进行一次关于分母有理化的访谈(评价方式多样化)。王媛媛说：

她没有记定义，而是用自己的语言和具体的实例表达了自己的理解，这表明“分母有理化”这一概念的理解是有效的（思考评价标准）。

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