一线教师

问：从研究方法上看（或从其它方面比较），高中的函数与初中的函数有哪些不同点？

王尚志教授

答：函数是数学中一个基本的研究对象，从小学、初中、高中、大学我们都会接触到有关函数的内容，例如，在小学我们就让学生了解速度、时间、路程之间的关系，虽然没有提到函数的概念，但它实质上就是一个函数关系；又如正比例、反比例关系也是函数关系。在初中阶段函数成为一个重要的内容，到高中这部分内容就更重要了。在大学数学学习中，函数仍然是最基本的研究对象。

　下面是我们对这部分内容的一些看法，供您做为参考――

　　20世纪初，在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下，函数进入了中学数学。克莱因提出了一个重要的思想——以函数概念和思想统一数学教育的内容，他认为：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂。以函数概念为中心，将全部数学教材集中在他周围，进行充分地综合。”

　　高中数学课程设计中，把函数作为贯穿整个高中数学课程始终的一条主线，这条线通向高等数学（特别是分析学），也是高等数学的一条主线。

那么，在数学上，应如何认识高中数学课程中的函数？在教学上，应如何整体把握高中阶段函数的教学？学生学完函数内容，应留下什么呢？

　　（一）对函数的认识

　　 1、函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型。

　　通过变量与变量之间的关系反映自然规律是我们认识现实世界的重要视角。有些变量和变量之间没有依赖关系，例如，速度和湿度就没有依赖关系。有些变量和变量之间存在着依赖关系，一个量的变化引起另一个量的变化。例如，在物理中刻画物体运动时，路程随着时间的变化而变化。又如，世界人口数量是随着时间的变化而变化的。这些变量之间都有着密切的依赖关系，而且，这种变量之间的依赖关系具有一个突出的特征，即当一个变量取定一个值时，依赖于这个变量的另一个变量有唯一确定的值。具有这种特征的变量之间的依赖关系在现实世界中大量存在。例如，汽车的运动，运动时间和速度是有依赖关系的两个变量，在某个时刻，汽车只能有唯一的一个速度。又如，邮局是按邮件的重量收取邮资，邮资与邮件的重量是有依赖关系的两个变量，对同类型具有一定重量的邮件，只能收取唯一确定的邮资。函数正是反映变量与变量之间这种依赖关系的，它是刻画现实世界中自然规律的重要模型。这也是数学联系实际的基础。

　　2、函数是联结两类对象的桥梁。

　　高中阶段，函数的定义为：给定两个实数集合A、B，对集合A的任一元素a，在集合B中存在唯一元素b与之对应，我们称这个对应关系f为集合A到集合B的一个函数关系，简称函数,记作f: A B。

这是用映射的观点刻画函数，它反映两个数集之间的关系，在两个数集之间架起一座桥梁。

3、函数是特殊的图形。

　　在中学阶段所研究的函数都可以看成平面上的一条曲线。因此，从某种意义上说函数是研究曲线的。这是数形结合桥梁之一。实际上，高中数学课程中的数形结合主要有三座“桥梁”：曲线与方程（需要以坐标系为平台），向量，函数。

以上三方面是认识函数的三个不同纬度，从这三个方面认识和把握函数，可以更好的理解函数。是学生在高中阶段应留下的东西。

（二）中学研究函数的哪些性质。

　　函数是刻画自然界变化规律的基本模型，研究函数主要是研究函数的变化。

　　在高中阶段讨论的函数的“变化”主要就是自变量增加（减少）时，函数是增加还是减少，即单调性。单调性是体现函数变化的最基本的性质。从几何的角度看，函数的单调性反映了函数图像走势的变化规律。

　　高中数学课程中，对于函数单调性的研究分成两个阶段。

　　第一阶段，安排在必修1中。要求理解单调性的图形直观，理解单调性的定义，通过大量的具体函数，理解单调性在研究函数中的作用。单调性与函数图形有密切联系，了解了单调性就可以基本上决定函数的形状，反过来，掌握了函数的图形，也就能很好地了解函数的单调性；单调性与不等式联系密切，单调性是用不等式来描述的，反之，具体函数的单调性反映了一些不等关系。

　　在教学中，对具体函数单调性的讨论要把握“度”，基本上限于简单的幂函数。指数、对数、三角函数单调性的证明不作要求，因为，严格证明还是有难度的。此外，对复合函数单调性的讨论也不作要求。

　　第二阶段，安排在选修系列1、2课程的“导数及其应用”中。导数是描述函数变化率的概念，导数概念可以帮助我们对“函数的变化”有进一步了解。在这一部分内容中，要求学生理解导数与单调性的联系：在一个区间，函数在每一点的导数大（小）于零，则函数是递增（减）的；反之，也可以用单调性判断导数的符号。在一个区间，递增（减）函数如果有导函数，每一点的导数大（小）于或等于零。这些结论的证明要用到拉格朗日中值定理，在高中是不要求的。在高中阶段，对严格单调性和单调性的区别不必深究，否则，会因小失大。对于一些对数学有兴趣的同学，教师可以引导学生读一些参考书。

　　周期性也是中学阶段函数的一个最基本的性质。在我们生活中，存在着大量的周期变化的现象。因此，学会用周期的观点来看待周围事物的变化是非常重要的。周期函数，比如，正余弦函数、正余切函数都是刻画周期变化的函数模型。用周期的观点来研究函数，可以使我们集中研究函数在一个周期里的变化，在此基础上，就可以了解函数在整个定义域内的变化情况。周期性反映了函数图形周而复始的变化。在高中数学课程中，不讨论一般函数的周期性，只对基本的具体三角函数讨论其周期性，例如，正弦、余弦、正切函数的周期性。

　　奇偶性也是我们在中学阶段要研究的函数性质。奇偶性反应了函数图形的对称性质，偶函数的图形是关于y轴对称的，奇函数的图形是关于原点对称的。奇偶性可以帮助我们更加准确和集中地研究函数的变化规律。高中数学课程中，对于一般函数的奇偶性，不做深入讨论，只对基本的具体函数讨论其奇偶性，例如，（列举）简单幂函数的奇偶性。

（三）具体函数模型

　　仅仅了解函数的定义，并不能很好地理解函数，理解函数一个重要方法，就是在头脑中留住一批具体函数的模型。在高中阶段，学生应留住哪些函数模型？如何让学生把这些模型留在头脑中，并能帮助思考问题？这是每位教师应该思考的问题。对于好的数学工作者，每一个抽象的数学概念，在他们在头脑中都会有一批具体的“模型”。这是很好的学习数学习惯。

幂函数( )、指数函数、对数函数、三角函数是基本初等函数，这些函数是最基本的，也是最重要的。还有简单的分段函数，一些有实际背景的函数，等等。这些都是基本的、重要的函数模型。

　　（1） 线性函数y=ax+b可以看作最简单的幂函数，它把x轴变成了一条直线；它是函数关系中最常见的，也是最简单的；在很多情况下，在研究比较复杂的函数时，我们常常用它在一点附近来近似表示复杂的函数，“以直代曲”是微分的基本思想；在统计相关分析中，线性函数即线性关系是最基本的。

　　（2）幂函数

　　整数指数幂函数y=xn也是基本的函数，也是好的函数。所谓好，是指它具有任意阶导数，非常的光滑。它们还有一个极为重要的性质，对于任意一个“好的函数”，都可以用整数指数幂函数的代数和来近似地表示，在高等数学中，称为泰勒公式，这是高等数学最重要的结果，它就是建立在整数指数幂函数的基础上的。这也是幂函数重要和基本的原因之一。

（3）指数函数、对数函数

指数函数、对数函数本身都是重要的函数，在刻画自然规律时，它们是用的最多的函数，也是最基本的函数；同时，它们是好函数，它们具有任意阶导数。

对数函数（底数大于1）、整数指数幂函数、指数函数（底数大于1），这三类函数都是随着自变量的增加而增加，但是，它们增长的速度是不同的，对数函数最慢，整数幂函数快一些，指数函数最快，在实际中，我们常常分别称为：对数增长，多项式增长，指数增长。这些是刻画增长的最基本的模式。（举例，以2为底的对数、指数、2次幂函数的增长情况比较）

（4）三角函数

周期现象是现实世界最基本的现象，三角函数是刻画周期现象最基本的模型，三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等等。很多现实生活中的周期现象都可以直接用这些三角函数表示。三角函数也是最基本的周期函数，通过三角函数可以帮助我们更好地理解周期函数。

三角函数也都是好的函数，具有任意阶导数；三角函数的代数和可以用来表示更多的函数（包括那些好的和不好的函数，如，不连续的函数），构成三角级数的理论，它是数学中分析学的基本内容，它还是重要的一个数学分支——调和分析、小波分析的基础，小波分析是图像压缩技术的基础，具有极为广泛的应用。

在向量的学习中，我们引入了“基”的概念，向量 =（1，0）和 =（0，1）就是标准正交基，平面上任意一个向量都可以唯一地用标准正交基表示。如前面所说，对某些函数类，整数指数幂函数和三角函数就能起到“基”的作用。（找两个展开式例子 ，）

　　综上所述，整数指数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数都是最基本的函数，高中数学的最重要的任务之一就是这些基本函数模型留在学生脑子里。

一线教师

问：三种视图，投影，平移与旋转，轴对称，在小学中学习，在初中阶段也是必学的内容，在高中平移与旋转，轴对称也是常用的研究方法，这些内容在三个学段如何定位？

张思明

答：三个学段的要求还是有区别的，小学并不要求理解几何变换的概念，只是在形式上有所感悟体会，会根据具体图案感受出它与哪种对称性或其他性质。初中要求学生能够从比较一般的稽核图形中发现或抽象出相应的稽核性质图，如等腰三角形是轴对称图形，圆有无数条对称轴。高中则把上述的稽核性质作为推理和应用的依据，甚至可以把稽核性质延拓到三维空间中去，比如我们可以去问，圆柱，球是否可以有对称轴或对称中心。

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问：如何更好地把握初中数学的探究性教学的程度？

王尚志教授

答：教无定法，无论是传授、启发、探究、交流，目的都是要激发学生学习的兴趣，使学生产生一种掌握知识的欲望，学生的积极性一旦调动起来，他们就能更好地学习、理解知识，因为任何一种教学方式都离不开对于教学内容和对象的分析，如何使用探究式教学也需要根据具体情况进行考虑和把握。

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问：（1）用十字相乘法解一元二次方程,现在初中用的是冀教版,不讲,但在高中是经常用的；（2）对数的内容，过去在初中，是一章的内容，现在放高中后，课时大大减少，很多学生对对数的概念和运算掌握的不好，是否应在此再增加点课时？

（3）高中不讲圆柱和圆锥，只在初中讲，但学生学得不到位，连简单的应用问题都解决不了，这些问题应如何解决？

马复

答：类似于十字相乘法的内容实际是一个技巧,对解许多方程其实并不实用(除了我们为训练它而专门出的题),学它必定要有相当的练习,其价值取向似乎值得考虑.而圆锥体的问题后面应当有的.

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