函数单调性与反函数

                                       王尚志  张晓东

                                            2007-8-16

在前面，我们介绍函数主线的时候，讨论了函数在高中阶段的基本定位，换一个角度说，在高中阶段，通过两种方法，来讨论一些具体函数的形状，一种方法是运算的方法，一种是导数的方法，确定函数形状主要依赖于函数的单调性，也可以说，函数的单调性基本反映了函数的变化特点。我们还应该清楚，在高中阶段，我们也仅仅能够研究一小部分函数的单调性。这些函数包括简单的幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，分段函数等等。

在标准中，我们适度地降低了对反函数的要求，希望老师以指数函数和对数函数作为载体，来帮助学生建立反函数的思想，对于反函数不做一般的讨论，例如，我们不专门去讨论反三角函数的问题。

我们希望老师，能够了解反函数与单调性之间的关系。

在高中阶段，我们讨论的绝大部分函数都是“好”函数，即具有任意阶导数的函数。像幂函数，指数函数，对数函数，三角函数都是这样的函数。在这类好函数中，函数的单调性就决定了存在反函数的范围。

如果我们老师，希望在反函数上作一定的拓展，我们建议结合我们所学的这些具体的模型，画出它们的函数图像，结合这些图像的单调区间，介绍反函数存在的范围，不必人为的去构造一些函数，抽象的讨论一般的反函数。如：

二次函数 的单调区间为 ,它存在反函数的区间为

指数函数 的单调区间为R,它存在反函数的区间为R.

 

在大学学习数学的过程中，还会有大量的课程内容，对反函数，对一一对应，进行进一步的讨论。例如，在拓扑结构中，要讨论同胚关系；在代数结构中，讨论同构关系；在度量结构中，讨论等距关系；等等。所有这些关系，都是一一对应的，都是存在反函数的。在高中阶段，只是对反函数有一个初步了解就可以了。

以上建议，供老师参考。