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配合教材的章节页码：北师大新世纪教材九年级下学期第二章《二次函数》第二节《结织抛物线》第38页
Z+Z版本：超级画板
使用环境：教师演示
教学目的：
1、 能够利用描点法作出函数ｙ＝ｘ２的图象，能根据图象认识和理解二次函数ｙ＝ｘ２的性质。
2、 猜想并能作出ｙ＝－ｘ２的图象，能比较它与ｙ＝ｘ２的图象的异同。
3、 对函数解析式y=ax2中a对于函数图象的作用的认识。
课件特点：1、以往的黑板画函数图象很费事，教师演示时难以每图都作。利用“Z+Z”能现作现用，充分展示列表、描点、连线的过程。
2、函数图象是可看作是点的集合。对于学生自己列表、描点、连线而得到的图象自然是个折线图形，因而难以理解为什么要用光滑曲线来连接点的本质，利用“Z+Z”的列表并与图象关联的方法很随意的在单位区间内增加满足函数的点数的办法从而可看出图象的真实面貌。
3、二次函数中二次项系数对函数图象的影响在以前教学中只能让学生多画些图来加深理解，用鼠标拖动“Z+Z”课件中的变量，直接可看出二次项系数的变化对图象的影响。
使用说明：1、每页均设置按钮以便上下跳转。
2、第二页为展示描点方法而设置，第三页通过选中抛物线改变其属性中曲线点数来观察抛物线为光滑曲线的理由，第六页起到与学生所画作对比所用，第十页通过改变二次项系数a的值（拖动a值变化条）来观察曲线开口方向、开口的大小。其余页面均用作文字展示。
案例：
一、创设问题情境，引入新课
［师］我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征。知道正比例函数的图象是过原点的一条直线。一般地一次函数的图象是不过原点的一条直线，反比例函数的图象是两条双曲线。上节课我们学习了二次函数的一般形式为ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ （其中ａ、ｂ、ｃ均为常数且ａ≠０）。那么它的图象是否也为直线或双曲线呢？本节课我们将一起来研究有关问题。
二、新课讲解
１、作函数ｙ＝ｘ２的图象
［师］一次函数的图象是一条直线。二次函数的图象是什么形状呢？让我人先看最简单的二次函数ｙ＝ｘ２。
大家还记得画函数图象的一般步骤吗？
［生］记得，是列表，描点，连线。
［师］非常正确，下面就请同学们跟我后面同时按上面的步骤作出ｙ＝ｘ２ 的图象。
（１）列表：
|
x |
－３ |
－２ |
－１ |
０ |
１ |
２ |
３ |
|
y |
９ |
４ |
１ |
０ |
１ |
４ |
９ |
（２）在直角坐标系中描点。
（３）用光滑的曲线连结各点，便得到函数图象。
［师］同学们有没有什么疑惑？
［生］老师，为什么要用光滑的曲线来连接各点呢？在作一次函数图象时我们都是直接用直线来连接各点的，我这里画出的是折线图，难道不对吗？
［师］这个问题提得好。二次函数图象时到底用直线连接还是用光滑的曲线来连接更为合理呢？不知同学们考虑这个问题没有：列表时我们取的点都是整数点，在整数点之间还有许多小数的点并未取，如自变量１与２之间还有无数个小数，假设我们把点取得更多一些我们就能看出二次函数图象的真正面貌了。不妨取２０个点试试，再取５０个点试试。（观看多媒体课件）
［生］老师，我明白了，函数图象应是点的集合，取的点足够多时我们就能看出其本来面貌的。
２、议一议
投影显示下列问题：
对于二次函数ｙ＝ｘ２的图象，
（１） 你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流。
（２） 图象与ｘ轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
（３） 当ｘ〈０时，随着值的增大，的值如何变化？当ｘ〉０时呢？
（４） 当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？
（５） 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请找出几对对称点，并与同伴进行交流。
［生］（１）图象的形状是一条曲线，就像抛出的物体所进行的路线的倒影。
（２）图象与轴有交点，交于原点，交点坐标就是（０，０）。
（３）当ｘ〈０时，图象在轴的左侧随着值的增大，y的值逐渐减小；当ｘ〉０时，图象在y轴的右侧，随着x值的增大，y的值逐渐增大。
（４）观察图象可知，当x=0时，y的值最小，最小值为0。
（６） 观察图象是轴对称图形，它的对称轴是轴，从刚才的列表中可找到对应点（－１，１）和（１，１）；（－２，４）和（２，４）；（－３，９）和（３，９）。
［师］大家分析判断能力很棒，下面我们系统地总结一下。
３、ｙ＝ｘ２的图象的性质
［师］从图象来看抛物线的开口方向是向上的。下面请大家讨论之后系统地总结出的图象的所有性质。
［生］
（１）抛物线的开口方向是向上。
（２）它的图象有最低点，最低点坐标是（０，０）。
（３）它是轴对称图形，对称轴是y轴。在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大。
（４）图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为（０，０）。
（５）因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝０时，y最小＝０。
４、做一做
投影显示：ｙ＝－ｘ２二次函数图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象。它与二次函ｙ＝ｘ２数的图象有什么关系？与同伴进行交流。
［师］请大家按照画图的步骤作出函数ｙ＝－ｘ２的图象。
［生］ｙ＝－ｘ２的图象如右图：形状还是抛物线，只是它的开口方向向下，它与ｙ＝ｘ２的图象形状相同，方向相反，这两个图形可以看作是关于ｘ轴对称。
［师］下面我们试着讨论ｙ＝－ｘ２的图象的性质。
［生］
（１）抛物线的开口方向是向下。
（２）它的图象有最高点，最高点坐标是（０，０）。
（３）它是轴对称图形，对称轴是ｙ轴。在对称轴的左侧，ｙ随ｘ的增大而增大；在对称轴的右侧，ｙ随着ｘ的增大而减小。
（４）图象与ｘ轴有交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最高点，坐标为（０，０）。
（５）因为图象有最高点，所以函数有最大值，当ｘ＝０时，ｙ最大＝０。
［师］大家总结得非常棒。
５、ｙ＝ｘ２函数与的ｙ＝－ｘ２图象的比较。
我们分别作出函ｙ＝ｘ２数与ｙ＝－ｘ２的图象，并对图象的性质作系统的研究，现在我们再来比较一下它们的图象的异同点。（见投影）
投影：
１、开口方向不同，ｙ＝ｘ２开口向上，ｙ＝－ｘ２开口向下。
２、函数值随自变量增大的变化趋势不同，在ｙ＝ｘ２图象上，在对称轴的左侧，随的增大而减小；在对称轴的右侧，随着的增大而减小在对称轴的左侧，随的增大而增大；在对称轴的右侧，随着的增大而增大。在ｙ＝－ｘ２的图象上正好相反。
３、在ｙ＝－ｘ２中ｙ有最小值，即ｘ＝０时，y最小＝０；在ｙ＝－ｘ２中，ｙ有最大值。即当ｘ＝０时，ｙ最大＝０。
４、ｙ＝ｘ２有最低点，ｙ＝－ｘ２有最高点。
相同点：
１、图象都是抛物线。
２、图象都与ｘ轴交于点（０，０）。
３、图象都关于ｙ轴对称。
联系：
它们的图象关于ｘ轴对称。
６、思考拓展。
［师］从上面的比较中，还有没有什么问题要提出来？
［生］从ｙ＝ｘ２和ｙ＝－ｘ２两个二次函数的解析式来比较，只是相差一个符号，而图象的张口方向却正好相反。那么二次函数的图象的开口方向到底跟什么有关呢？
［师］很善于思考。我们现在来看这几个二次函数的图象ｙ＝２ｘ２、ｙ＝３ｘ２（二次项系数均为正值），再来看另几个二次函数图象ｙ＝－２ｘ２、ｙ＝－３ｘ２（二次项系数均为负值），你们发现了什么规律？
［生１］原来二次项系数为正时，抛物线开口朝上，二次项系数为负时，抛物线开口朝下。
［生２]老师，我还发现从二次项系数的绝对值来看，绝对值越大，开口越小，绝对值越小，开口越大。
［师］说得非常好，对于ｙ＝ａｘ２这类二次函数来说，ａ与其张口大小、张口方向都有关系。（并就本节整体内容进行总结，并给学生以感想的时间。）
设计思路：
先通过列表描点连线初步得到y=x2的折线图，进而通过增加满足函数的点数感悟此函数的真正图象，并通过观察图象来了解y=x2函数图象的性质特征。利用相同办法同时研究y=-x2图象的性质，并对两函数进行对比，体会造成图象不同的原因，并进而引发学生产生是不是二次函数二次项系数a为正开口向上、二次项系数为负开口向下的疑问并画图验证，而由此又生发出a的绝对值对其张口大小的思考，教师通过课件解惑并归纳。
制作步骤：（由于本课件的第十页制作方法基本涵盖其它页面图形及文本的制作方法，故这里仅对本课件第十页的制作方法作以阐述。）
1、 单击菜单项“作图/函数或参数方程曲线”，弹出函数作图对话框；直接在“y=”对应的编辑框中输入：a*x^2，设置“曲线的点数”为：200，设置变量范围为：-4到4；最后单击[确定]按钮退出。
2、 单击菜单项“插入/变量对象”，在弹出的“变量设置”对话框中输入变量名称：a，然后设置其最小值为：-5，最大值为5；最后单击[确定]按钮退出。
3、 在属性工作区中设置“显示浮点的精度”选项的属性值为：1。
4、 单击菜单项“插入/文本”，弹出文本编辑对话框；在文本编辑栏中输入：二次函数y=ax^2的图像，然后单击[确定]按钮退出。选择该文本多次单击[放大]工具，然后通过[填充颜色]工具将文本填充为青绿色，然后多次单项击[增加透明]工具增加内部的透明度。
5、 单击菜单项“插入/文本”，弹出文本编辑对话框；在文本编辑栏中输入：函数方程：y=$bl{a,1}x^2; 然后单击[确定]按钮退出。结果得到函数方程表达式。
6、 使用后记：
课后引起学生极大兴趣的不仅是知识的丰富多彩，更是课件的制作。随着使用的熟悉化程度及我校科技楼的即将峻工，网络版的“z+z”教育平台的安装势在必行。 |