a) 在初中的几何学习中，同学们已经熟悉了对称变换、轴对称变换、中心对称变换（旋转180度的旋转变换）、平移变换、放缩变换等。这些变换我们能用相应的语言去刻画。从本质上来讲，这些变换都是把平面上的一个点变成平面上的另一个点。

b) 我们再来看看向量与平面上的点的关系。平面上的点是可以唯一确定的，可以用以原点为起点这个点为终点的向量唯一确定。不难看出，平面上的点与这样的向量是一一对应的关系。我们可以用过原点的向量来刻画平面上的点。所以，平面上点的变换也常用向量来刻画。

c) 本专题中，我们介绍了一种反映变换的代数形式——二阶矩阵。二阶矩阵作用在一个向量上可以得到一个新的向量。这里的矩阵就是映射。例如，

可以看出，二阶矩阵把平面上的每一个点都变成唯一的点。

d) 在此基础上，一方面，我们可以用矩阵来刻画我们熟悉的几个几何变换。另一方面，矩阵变换也具有一定的几何意义。

　　例如，就表示向量（a,b）在y轴上的投影。

 就表示向量（a,b）关于y轴对称。

e) 我们还将了解到，变换也可以复合，比如对于一个点的变换，我们可以先旋转再平移，也可以先平移再旋转，并且这两种变换的复合结果是不一样的。对应这种变换的复合能用矩阵的运算来表示吗？矩阵的乘法运算就能很好地表示这种变换的复合。

例如， 就表示向量（a,b）先在y轴上投影，再关于y轴对称。

f) 大部分的变换都有逆变换，这种逆变换就对应矩阵的逆矩阵。

　　例如， 的逆变换就是再作一次关于y轴的对称，用矩阵表示即为：，可以看出，这是两个逆变换， 和它自己为互逆矩阵。

变换的逆和矩阵的逆本质上体现了一一对应的思想。

　　g) 在本专题我们还讨论了用变换的思想来认识二元一次方程组

例如，方程组，就可以用矩阵表示出来：

h)那么在变换的过程中有不变的性质吗？变换所对应矩阵的特征值和特征向量就是变换中的不变性质。

i)我们从上述的分析可以看出

①函数——映射的思想是贯穿本专题始终的重要思想。

②本专题与大学《线性代数》中讲解矩阵的区别就在于，大学是把矩阵作为一个代数对象。我们这里把矩阵作为几何变换的一种表示，着重突出矩阵的几何意义，矩阵的运算的几何意义，矩阵的逆的几何意义，矩阵的特征值、特征向量的几何意义。为进一步从代数的角度认识矩阵提供了一个直观的、生动的、具体的模型。

作者：王尚志、张饴慈、马芳华。