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| 在选修3-6三等分角与数域扩充中起重要作用的数学思想的分析 |
| 作者：见文章 文章来源：高中数学选课指南 点击数： 更新时间：5/30/2006 |
| 在选修3-6三等分角与数域扩充中起重要作用的数学思想的分析
a) 在义务教育阶段，有关几何的学习中，我们已经把三大几何作图问题，以数学文化的方式呈现给学生了。三大几何作图问题在数学发展中的重要作用，使教师应该渗透给学生的。
b) 为了更好的理解尺规三等分角的问题。同学们应该知道的是，如果使用更丰富的工具是能解决三等分角的问题的。三等分角是有前提的，它的前提就是，必须只使用直尺和圆规。
c) 在初中几何讨论作图题目时，我们更多的考虑是如何做。如何更具体的讨论作图问题。在历史上很长一段时间，人们也都按照这样一个思路去思考界三等分角的问题。
随着历史的发展，人们改变了思考解决这个问题的思路。
我们先要考虑如何刻画出只用圆规和直尺画出的图形的范围。把圆规和直尺作图的范围转化成能够做出的实数的范围，这是非常大飞跃。这个过程可以粗略的分析如下：
首先，给定单位长度之后，用尺规可以做出整数；其次，可以做出全体有理数；然后，再此基础上，我们可以做出任意两条线段以及线段之间的加、减、乘和除，进而可以做出 。
因此可以做出形如r1+r2 的线段，以及这样线段之间的加、减、乘和除。
按照这样的思路，我们就可以确定尺规的可作图形的范围。运用上述过程不断拓展可作图的范围，这个过程数学上通常称之为数域的扩充
d) 我们已经刻画了可作图的范围，那么尺规是不是只能作出这些图形呢？就这一点的理解，对同学们来说是比较困难的。同学们可以在教师的指导下，采取适当的措施来帮助理解这个难点。
e) 当我们知道了尺规的作图范围，并且有说明了只能作出的范围。那么下面的问题就是，三等分角是否也在这个范围里呢？
我们选择60度的角为例，求出它的三等分角的问题，这个问题就转化为求一个数的问题。我们的目标就是要想办法判断这个数是否在可作图的范围以内。
f) 通过证明这个数不在可作图的范围之内，我们可以证明用尺规三等分角是不可能的过程。这样的一种证明的思路是数学中经常用到。也是解决数学问题的一个常见的过程。这也与我们做习题的过程有很大的不同。
在教学中，首先，同学们应该在教师的帮助下建立起解决这个问题的大的步骤。
然后，同学们再去思考每个步骤的细节，如果离开解决问题的大的步骤而陷入细小的步骤中，那么就会不知所“为”
g) 本专题所体现的数学论证方法对同学们来说，我们认为还是有一定的难度的。在学习中，同学们应该根据自己的特点和不同的要求，在教师的指导下体会其中蕴含的数学思想方法。
作者：王尚志、张饴慈、马芳华
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