在选修3-5欧拉公式与闭曲面分类中起重要作用的数学思想的分析

a)在义务教育阶段同学们就了解了很多立体图形，特别是多面体。

而且对于欧拉公式我们也有一定的了解。

b)同学们可以试着体会一下研究多面体和平面多边形的差异。在研究平面多边形时，我们只需要用边和角，就能很好的区分平面多边形。可是在研究多面体时，单纯用边、角和面都不行，而是需要综合的考虑面、边和点的关系，即欧拉公式：面数-边数+点数=2。

除了凸多面体，还有一些空间图形，例如，蹄形磁铁（如图所示），也满足欧拉公式。还有那些图形与凸多面体一样满足欧拉公式呢？

c)如图所示，把一个多面体放进一个球的内部，在多面体中找一个点，然后向外作射线，则每个点都能映在球面上。就好像往多面体内吹气，最后这个多面体就变得跟球“差不多”了。

所以我们可以得到这样地结论：

①球面也满足欧拉公式

②多面体在球内的变换f称为一个同胚变换（一一对应，f连续，f的逆也连续）

因此，凡是同胚变换的图形，它的像依然满足欧拉公式。

d)有没有不满足欧拉公式的图形呢？

如图所示

这个掏空的长方体与“游泳圈”同胚。所以，这个“长方体”不满足欧拉公式，则“游泳圈”也不满足欧拉公式。

从c)和d)可以看出，同是闭曲面还是存在着本质的不同。那么，球和“游泳圈”究竟怎么区分呢？对于闭曲面应该怎么分类呢？

e)为了对闭曲面进行分类，我们引入亏格和欧拉示性数的概念。

f)几何直观思想是本专题的核心思想。能够很好的把握图形的能力也是我们设置本专题的主要目的，同学们要在教师的帮助下建立这种几何直观的能力。拓扑交换的思想也就是函数思想，也贯穿在本专题的始终。另外，本专题体现的这种分类的思想，其实就是几何的本质，也是需要同学们深切体会的重要思想。

作者：王尚志、张饴慈、马芳华